Кіріспе
Теңдеу, онда айнымалылардың дәрежелері немесе көбейтінділері болмайды
Математикада сызықтық теңдеу – бұл мынадай түрде жазылуы мүмкін теңдеу:
мұнда айнымалылар (немесе белгісіздер), ал коэффициенттер, олар көбінесе нақты сандар болып табылады. Коэффициенттер теңдеудің параметрлері ретінде қарастырылуы мүмкін және олар кез келген айнымалыны қамтымаса, кездейсоқ өрнектер болуы мүмкін. Мағыналы теңдеуді алу үшін коэффициенттердің барлығы нөлге тең болмауы керек. Басқаша айтқанда, сызықтық теңдеуді белгілі бір өрістегі сызықтық көпмүшелікті нөлге теңеу арқылы алуға болады, содан коэффициенттер алынады. Мұндай теңдеудің шешімдері – бұл белгісіздердің орнына қойылғанда теңдікті дұрыс ететін мәндер. Егер тек бір айнымалы болса, онда дәл бір шешім болады (егер ). Көбінесе, «сызықтық теңдеу» термині осы нақты жағдайға сілтеме жасайды, онда айнымалы дұрыс белгісіз деп аталады. Екі айнымалының жағдайында әр шешімді Евклид жазықтығындағы нүктенің декарттық координаталары ретінде қарастыруға болады. Сызықтық теңдеудің шешімдері Евклид жазықтығында түзу құрайды, ал керісінше, кез келген түзуді екі айнымалыдағы сызықтық теңдеудің барлық шешімдерінің жиынтығы ретінде қарастыруға болады. Осы типтегі теңдеуді сипаттау үшін «сызықтық» термині осылай пайда болды. Жалпы алғанда, n айнымалыдағы сызықтық теңдеудің шешімдері n өлшемді Евклид кеңістігінде гипержазықтық (n-1 өлшемді кіші кеңістік) құрайды.
where are the variables (or unknowns), and are the coefficients, which are often real numbers. The coefficients may be considered as parameters of the equation and may be arbitrary expressions, provided they do not contain any of the variables. To yield a meaningful equation, the coefficients are required to not all be zero. Alternatively, a linear equation can be obtained by equating to zero a linear polynomial over some field, from which the coefficients are taken. The solutions of such an equation are the values that, when substituted for the unknowns, make the equality true. In the case of just one variable, there is exactly one solution (provided that ). Often, the term linear equation refers implicitly to this particular case, in which the variable is sensibly called the unknown. In the case of two variables, each solution may be interpreted as the Cartesian coordinates of a point of the Euclidean plane. The solutions of a linear equation form a line in the Euclidean plane, and, conversely, every line can be viewed as the set of all solutions of a linear equation in two variables. This is the origin of the term linear for describing this type of equation. More generally, the solutions of a linear equation in n variables form a hyperplane (a subspace of dimension n − 1) in the Euclidean space of dimension n.
Сызықтық теңдеулер математиканың барлық салаларында және физика мен инженериядағы олардың қолданылуында жиі кездеседі, өйткені сызықтық емес жүйелер көбінесе сызықтық теңдеулермен жақсы жуықталады. Бұл мақалада нақты сандар өрісінен алынған коэффициенттері бар бір теңдеудің жағдайы қарастырылады, онда нақты шешімдер зерттеледі. Оның барлық мазмұны күрделі шешімдерге және, жалпы алғанда, кез келген өрістегі коэффициенттері мен шешімдері бар сызықтық теңдеулерге қолданылады. Бірнеше бір уақыттағы сызықтық теңдеулер үшін сызықтық теңдеулер жүйесін қараңыз.
Бір айнымалы
Бір x айнымалысы бар сызықтық теңдеуді түрінде жазуға болады, мұндағы
Шешімі — .
Екі айнымалы
Екі айнымалысы x және y болатын сызықтық теңдеуді a және b екеуі де 0-ге тең емес деп жазуға болады. Егер a және b нақты сандар болса, онда оның шешімдері шексіз көп.
Тігінен жасалған теңдеу
Сызықты анықтаудың әр түрлі тәсілдері бар. Келесі тақырыптарда әрбір жағдайда сызықтың сызықтық теңдеуі келтіріледі.
Қалпына келтіру нысаны
Осімен параллель емес және координаталардың басын (шығу тегін) өтпейтін түзу, координата осьтерін екі әртүрлі нүктеде қияды. Осы екі нүктенің осімен қиылысу нүктелерінің мәндері нөлге тең емес, және түзудің теңдеуі:
(Бұл теңдеумен анықталған түзудің осімен қиылысу нүктелерінің мәндері екенін тексеру оңай).