Введение

Уравнение, не включающее в себя степени или произведения переменных.

В математике линейное уравнение – это уравнение, которое можно привести к виду, где – переменные (или неизвестные), а – коэффициенты, которые часто являются действительными числами. Коэффициенты могут рассматриваться как параметры уравнения и могут быть произвольными выражениями, при условии, что они не содержат ни одной из переменных. Для получения осмысленного уравнения требуется, чтобы не все коэффициенты были равны нулю. Альтернативно, линейное уравнение можно получить, приравняв к нулю линейный многочлен над некоторым полем, из которого берутся коэффициенты. Решения такого уравнения – это значения, которые при подстановке вместо неизвестных делают равенство верным. В случае только одной переменной существует ровно одно решение (при условии, что ). Часто термин «линейное уравнение» неявно относится к этому конкретному случаю, в котором переменная уместно называется неизвестной. В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как декартовы координаты точки на евклидовой плоскости. Решения линейного уравнения образуют прямую на евклидовой плоскости, и, наоборот, любую прямую можно рассматривать как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Это и является происхождением термина «линейный» для описания этого типа уравнения. В более общем случае решения линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n − 1) в евклидовом пространстве размерности n.

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и находят применение в физике и инженерии, отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейными уравнениями. В данной статье рассматривается случай единственного уравнения с коэффициентами из поля действительных чисел, для которого изучаются действительные решения. Все изложенное применимо к комплексным решениям и, в более общем смысле, к линейным уравнениям с коэффициентами и решениями в любом поле. Для случая нескольких одновременных линейных уравнений см. статью «Система линейных уравнений».

Одна переменная

Линейное уравнение в одной переменной x может быть записано как , где

Решением является .

Две переменные

Линейное уравнение в двух переменных x и y может быть записано в виде ax + by = c, где a и b не равны нулю одновременно. Если a и b — действительные числа, то оно имеет бесконечно много решений.

Уравнение прямой

Существуют различные способы определения прямой. В следующих подразделах в каждом случае приводится линейное уравнение этой прямой.

Форма перехвата

Прямая, не параллельная ни одной из осей координат и не проходящая через начало координат, пересекает оси в двух различных точках. Значения отрезков, отсекаемых этой прямой на осях, отличны от нуля, и уравнение прямой имеет вид

(Легко проверить, что прямая, заданная этим уравнением, имеет указанные значения отрезков).