Жүйелi жинақтар мен көлденең жинақтар: сызықтық жинақтар туралы түсініктер

Кіріспе

Математикалық ұғым

Математикада тік бумдел және көлденең бумдел – тегіс талшықты бумделге қатысты векторлық бумделдер. Нақтырақ айтқанда, егер бірқалыпты талшықты бумдел берілген болса, тік бумдел және көлденең бумдел – тангенстік бумделдің кіші бумделдері болып табылады, олардың Уитни қосындысы теңдікті қанағаттандырады. Яғни, әрбір нүктеде талшықтар мен көлденең кеңістік тангенстік кеңістіктің толықтыратын кіші кеңістіктерін құрайды. Тік бумдел – талшықтарға жанасатын барлық векторлардан тұрады, ал көлденең бумделге қосымша кіші кеңістікті таңдау қажет. Бұл туралы нақтылау үшін, нүктедегі тік кеңістікті былай анықтаймыз: . Яғни, дифференциал – ядросы талшықтардың өлшемімен бірдей болатын сызықтық проекция. Егер деп жазсақ, онда ол талшықтарға жанасатын векторлардан тұрады. Бұл атау төмен өлшемді мысалдармен түсіндіріледі, мысалы, шеңбер үстіндегі тривиальді сызық бумделі, ол көлденең шеңберге проекцияланатын тік цилиндр ретінде бейнеленеді. Егер E жиынындағы әрбір e үшін тік кеңістіктердің жиынтығы VE болса, онда бұл E-нің тік бумделі болады. Сол сияқты, егер көлденең кеңістіктер e-мен бірқалыпты өзгеретін болса, олардың жиынтығы көлденең бумделді құрайды. Мұндағы "the" және "a" сөздерінің қолданылуы мақсатты: әрбір тік кіші кеңістік бірегей, ал тривиалды жағдайларды есепке алмай, әрбір нүктеде шексіз көп көлденең кіші кеңістіктер бар. Сонымен қатар, әрбір нүктеде көлденең кеңістікті кездейсоқ таңдау, әдетте, тегіс векторлық бумделді құрамайды; олар тиісінше тегіс түрде өзгеруі керек. Көлденең бумдел – талшықты бумделдегі Эресманн байланысының ұғымын қалыптастырудың бір жолы. Мысалы, егер E негізгі G бумделі болса, онда көлденең бумдел G инвариантты болуы керек: мұндай таңдау негізгі бумделдегі байланысқа тең. Бұл, атап айтқанда, E – негізгі бумдел болып табылатын кейбір векторлық бумделге қатысты фрейм бумделі болған кезде орын алады.

In mathematics, the vertical bundle and the horizontal bundle are vector bundles associated to a smooth fiber bundle. More precisely, given a smooth fiber bundle , the vertical bundle and horizontal bundle are subbundles of the tangent bundle of whose Whitney sum satisfies This means that, over each point , the fibers and form complementary subspaces of the tangent space The vertical bundle consists of all vectors that are tangent to the fibers, while the horizontal bundle requires some choice of complementary subbundle. To make this precise, define the vertical space at to be That is, the differential (where ) is a linear surjection whose kernel has the same dimension as the fibers of If we write , then consists of exactly the vectors in which are also tangent to The name is motivated by low dimensional examples like the trivial line bundle over a circle, which is sometimes depicted as a vertical cylinder projecting to a horizontal circle. A subspace of is called a horizontal space if is the direct sum of and
The disjoint union of the vertical spaces VeE for each e in E is the subbundle VE of TE; this is the vertical bundle of E. Likewise, provided the horizontal spaces vary smoothly with e, their disjoint union is a horizontal bundle. The use of the words "the" and "a" here is intentional: each vertical subspace is unique, defined explicitly by Excluding trivial cases, there are an infinite number of horizontal subspaces at each point. Also note that arbitrary choices of horizontal space at each point will not, in general, form a smooth vector bundle; they must also vary in an appropriately smooth way. The horizontal bundle is one way to formulate the notion of an Ehresmann connection on a fiber bundle. Thus, for example, if E is a principal G bundle, then the horizontal bundle is usually required to be G invariant: such a choice is equivalent to a connection on the principal bundle. This notably occurs when E is the frame bundle associated to some vector bundle, which is a principal bundle.

Ресми анықтама

π:E→B – тегіс көпқырлы B-ға арналған тегіс талшықтық шоғыр болсын. Тік шоғыр VE := ker(dπ) – тангенс картасы dπ : TE → TB-ның ядросы. dπe әрбір e нүктесінде сюръективті болғандықтан, ол TE-нің реттелі кіші шоғырына ие болады. Сонымен қатар, тік шоғыр VE де интегралданады. E-дегі Эреманн байланысы – VE-ге TE-де толықтыратын кіші шоғырды HE таңдау, ол байланыстың көлденең шоғыры деп аталады. E-дегі әрбір e нүктесінде екі кіші кеңістік тікелей қосынды құрайды, яғни TeE = VeE ⊕ HeE.

Мысал

Мёбиус жолағы – шеңбер үстіндегі сызық шоғыры, ал шеңберді жолақтың ортаңғы сақинасы ретінде бейнелеуге болады. Жолақтың кез келген нүктесінде проекциялық бейнелеу оны ортаңғы сақинаға түсіреді, ал талшық ортаңғы сақинаға перпендикуляр болады. Бұл нүктедегі тік шоғыр – талшыққа жанасатын кеңістік. Біртектес талшықты шоғырдың қарапайым мысалы – екі көптеуіштің Декарт көбейтіндісі. B1 = (M × N, pr1) шоғырын қарастырайық, мұндағы шоғыр проекциясы pr1: M × N → M: (x, y) → x. Жоғарыдағы абзацтағы анықтаманы қолданып, тік шоғырды табу үшін алдымен M × N-дегі (m,n) нүктесін қарастырамыз. Содан кейін pr1 проекциясы бойынша осы нүктенің бейнесі m болады. Осы pr1 проекциясы бойынша m-нің кері бейнесі {m} × N, сондықтан T((m,n), {m} × N) = {m} × TN. Осыдан кейін тік шоғыр VB1 = M × TN, бұл T(M × N) шоғырының ішкі шоғыры болып табылады. Егер біз екінші проекцияны pr2: M × N → N: (x, y) → y талшықты шоғырды анықтау үшін алсақ, B2 := (M × N, pr2), онда тік шоғыр VB2 = TM × N болады. Екі жағдайда да көбейтінді құрылымы көлденең шоғырды табиғи түрде таңдауға мүмкіндік береді, демек Эресман байланысы пайда болады: B1 шоғырының көлденең шоғыры B2 шоғырының тік шоғырымен, ал керісінше, сәйкес келеді.

Қасиеттері

Дифференциалдық геометриядан шыққан әртүрлі маңызды тензорлар мен дифференциалдық формалар тік және көлденең бундельдерде нақты қасиеттерге ие болады, тіпті олардың өзі арқылы анықталуы мүмкін. Олардың кейбіреулері:

Тік векторлық өріс – тік бундельде орналасқан векторлық өріс. Яғни, E-нің әр нүктесі үшін, e нүктесіндегі тік векторлық кеңістікте жататын вектор таңдалады. Егер векторлардың кем дегенде біреуі тік болса, E-дегі дифференциалданатын r-форма көлденең форма деп аталады. Қосылыс формасы көлденең бундельде нөлге тең болады және тек тік бундельде ғана нөлден өзгеше болады. Осылайша, қосылыс формасын көлденең бундельді анықтау үшін қолдануға болады: көлденең бундель – қосылыс формасының ядросы. Сүйреу формасы немесе тавтологиялық форма тік бундельде нөлге тең болады және тек көлденең бундельде ғана нөлден өзгеше болады. Сүйреу формасы өз мәндерін толығымен көлденең бундельде алады. Егер бундель кадрлық болса, бұрылу формасы тік бундельде нөлге тең болады және оны Леви-Чивита қосылысына айналдыру үшін кез келген қосылысқа қосылуы тиіс бөлікті нақты анықтау үшін, яғни қосылысты бұрылусыз ету үшін қолданылуы мүмкін. Шындығында, егер θ сүйреу формасы үшін жазылса, онда бұрылу тензоры Θ, Θ = Dθ (мұнда D – сыртқы ковариантты туынды) арқылы беріледі. Кез келген ω қосылысы үшін TE-де σ формасының бірегей түрі бар, ол конторсия тензоры деп аталады, ол тік бундельде нөлге тең болады және ω + σ – бұрылусыз басқа 1-форма болып табылады. Нәтижесіндегі ω + σ формасы – Леви-Чивита қосылысынан басқа ештеңе емес. Мұны анықтама ретінде қарастыруға болады: бұрылу берілгендіктен, бұрылудың жоғалуымен тең және σ тік бундельде нөлге тең болуы керек екенін және σ әр талшықта G-инвариантты болуы керек екенін көрсету қиын емес (дәлірек айтқанда, σ G-нің серіктес өкілдігінде өзгереді). Бұл Леви-Чивита қосылысын ешқандай метрикалық тензорға тікелей сілтеме жасамай анықтайтынын ескеріңіз (дегенмен метрикалық тензорды сүйреу формасының ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады, өйткені ол базалық кеңістіктің жанама және кожанама бундельдері арасындағы бейнелеуді орнатады, яғни кадрлық бундельдің көлденең және тік ішкі кеңістіктері арасында). Егер E негізгі бундель болса, онда негізгі векторлық өріс міндетті түрде тік бундельде орналасуы керек және кез келген көлденең бундельде нөлге тең болуы керек.

A vertical vector field is a vector field that is in the vertical bundle. That is, for each point e of E, one chooses a vector where is the vertical vector space at e.
A differentiable r form on E is said to be a horizontal form if whenever at least one of the vectors is vertical. The connection form vanishes on the horizontal bundle, and is non zero only on the vertical bundle. In this way, the connection form can be used to define the horizontal bundle: The horizontal bundle is the kernel of the connection form. The solder form or tautological one form vanishes on the vertical bundle and is non zero only on the horizontal bundle. By definition, the solder form takes its values entirely in the horizontal bundle. For the case of a frame bundle, the torsion form vanishes on the vertical bundle, and can be used to define exactly that part that needs to be added to an arbitrary connection to turn it into a Levi Civita connection, i. e. to make a connection be torsionless. Indeed, if one writes θ for the solder form, then the torsion tensor Θ is given by Θ = D θ (with D the exterior covariant derivative). For any given connection ω, there is a unique one form σ on TE, called the contorsion tensor, that is vanishing in the vertical bundle, and is such that ω+σ is another connection 1 form that is torsion free. The resulting one form ω+σ is nothing other than the Levi Civita connection. One can take this as a definition: since the torsion is given by , the vanishing of the torsion is equivalent to having , and it is not hard to show that σ must vanish on the vertical bundle, and that σ must be G invariant on each fibre (more precisely, that σ transforms in the adjoint representation of G). Note that this defines the Levi Civita connection without making any explicit reference to any metric tensor (although the metric tensor can be understood to be a special case of a solder form, as it establishes a mapping between the tangent and cotangent bundles of the base space, i. e. between the horizontal and vertical subspaces of the frame bundle). In the case where E is a principal bundle, then the fundamental vector field must necessarily live in the vertical bundle, and vanish in any horizontal bundle.