Введение
Математическая концепция
В математике вертикальный пучок и горизонтальный пучок — это векторные пучки, связанные с гладким волокнистым расслоением. Более точно, для гладкого волокнистого расслоения , вертикальный пучок и горизонтальный пучок являются подпучками тангенциального пучка такого, что их сумма Уитни удовлетворяет условию . Это означает, что над каждой точкой , волокна и образуют дополняющие подпространства тангенциального пространства. Вертикальный пучок состоит из всех векторов, касательных к волокнам, в то время как для определения горизонтального пучка требуется некоторый выбор дополняющего подпучка. Чтобы это было более точно, определим вертикальное пространство в точке как То есть, дифференциал (где ) является линейным сюръективным отображением, ядро которого имеет ту же размерность, что и волокна расслоения . Если мы запишем , то состоит ровно из тех векторов в , которые также касательны к . Название обусловлено примерами из низкоразмерных случаев, например, тривиальным линейным расслоением над окружностью, которое иногда изображается как вертикальный цилиндр, проецирующийся на горизонтальную окружность. Подпространство тангенциального пространства называется горизонтальным пространством, если является прямой суммой и . Непрерывное объединение вертикальных пространств для каждого в образует подпучок пучка ; это вертикальный пучок расслоения . Аналогично, если горизонтальные пространства плавно меняются вместе с , то их непрерывное объединение образует горизонтальный пучок. Использование слов "the" и "a" здесь намеренно: каждое вертикальное подпространство уникально и определяется явно. За исключением тривиальных случаев, в каждой точке существует бесконечно много горизонтальных подпространств. Также следует отметить, что произвольный выбор горизонтального пространства в каждой точке, как правило, не образует гладкий векторный пучок; они также должны меняться соответствующим образом гладко. Горизонтальный пучок — это один из способов сформулировать понятие эрресмановского связного расслоения. Таким образом, например, если — главное -расслоение, то обычно требуется, чтобы горизонтальный пучок был -инвариантным: такой выбор эквивалентен связности на главном расслоении. Это особенно верно, когда — пучок кадров, связанный с некоторым векторным расслоением, которое является главным расслоением.
The disjoint union of the vertical spaces VeE for each e in E is the subbundle VE of TE; this is the vertical bundle of E. Likewise, provided the horizontal spaces vary smoothly with e, their disjoint union is a horizontal bundle. The use of the words "the" and "a" here is intentional: each vertical subspace is unique, defined explicitly by Excluding trivial cases, there are an infinite number of horizontal subspaces at each point. Also note that arbitrary choices of horizontal space at each point will not, in general, form a smooth vector bundle; they must also vary in an appropriately smooth way. The horizontal bundle is one way to formulate the notion of an Ehresmann connection on a fiber bundle. Thus, for example, if E is a principal G bundle, then the horizontal bundle is usually required to be G invariant: such a choice is equivalent to a connection on the principal bundle. This notably occurs when E is the frame bundle associated to some vector bundle, which is a principal bundle.
Формальное определение
Пусть π: E→ B будет гладким волокнистым расслоением над гладким многообразием B. Вертикальное расслоение — это ядро VE := ker(dπ) касательного отображения dπ : TE → TB. Поскольку dπe сюръективно в каждой точке e, оно определяет регулярное подрасслоение TE. Более того, вертикальное расслоение VE также интегрируемо. Эресманново связное соединение на E — это выбор дополнительного подрасслоения HE к VE в TE, называемого горизонтальным расслоением связности. В каждой точке e в E два подпространства образуют прямую сумму, такую что TeE = VeE ⊕ HeE.
TeE = VeE ⊕ HeE.
Пример
Полоска Мёбиуса — это расслоение над окружностью, и окружность можно представить как среднее кольцо полоски. В каждой точке полоски проекционная карта проецирует её в сторону среднего кольца, а волокно перпендикулярно среднему кольцу. Вертикальное расслоение в этой точке — это касательное пространство к волокну. Простой пример гладкого расслоения — декартово произведение двух многообразий. Рассмотрим расслоение B1 := (M × N, pr1) с проекцией расслоения pr1 : M × N → M : (x, y) → x. Применяя определение из предыдущего абзаца для нахождения вертикального расслоения, мы сначала рассматриваем точку (m, n) в M × N. Затем образ этой точки под pr1 равен m. Прообраз m под той же pr1 равен {m} × N, так что T(m,n)({m} × N) = {m} × TN. Тогда вертикальное расслоение VB1 = M × TN, которое является подрасслоением T(M × N). Если мы возьмем другую проекцию pr2 : M × N → N : (x, y) → y для определения расслоения B2 := (M × N, pr2), то вертикальное расслоение будет VB2 = TM × N.
В обоих случаях структура произведения дает естественный выбор горизонтального расслоения и, следовательно, связь Эресмана: горизонтальное расслоение B1 — это вертикальное расслоение B2 и наоборот.
Свойства
Различные важные тензоры и дифференциальные формы из дифференциальной геометрии приобретают специфические свойства на вертикальных и горизонтальных расслоениях, или даже могут быть определены в терминах этих расслоений. Некоторые из них:
A vertical vector field is a vector field that is in the vertical bundle. That is, for each point e of E, one chooses a vector where is the vertical vector space at e.
A differentiable r form on E is said to be a horizontal form if whenever at least one of the vectors is vertical. The connection form vanishes on the horizontal bundle, and is non zero only on the vertical bundle. In this way, the connection form can be used to define the horizontal bundle: The horizontal bundle is the kernel of the connection form. The solder form or tautological one form vanishes on the vertical bundle and is non zero only on the horizontal bundle. By definition, the solder form takes its values entirely in the horizontal bundle. For the case of a frame bundle, the torsion form vanishes on the vertical bundle, and can be used to define exactly that part that needs to be added to an arbitrary connection to turn it into a Levi Civita connection, i. e. to make a connection be torsionless. Indeed, if one writes θ for the solder form, then the torsion tensor Θ is given by Θ = D θ (with D the exterior covariant derivative). For any given connection ω, there is a unique one form σ on TE, called the contorsion tensor, that is vanishing in the vertical bundle, and is such that ω+σ is another connection 1 form that is torsion free. The resulting one form ω+σ is nothing other than the Levi Civita connection. One can take this as a definition: since the torsion is given by , the vanishing of the torsion is equivalent to having , and it is not hard to show that σ must vanish on the vertical bundle, and that σ must be G invariant on each fibre (more precisely, that σ transforms in the adjoint representation of G). Note that this defines the Levi Civita connection without making any explicit reference to any metric tensor (although the metric tensor can be understood to be a special case of a solder form, as it establishes a mapping between the tangent and cotangent bundles of the base space, i. e. between the horizontal and vertical subspaces of the frame bundle). In the case where E is a principal bundle, then the fundamental vector field must necessarily live in the vertical bundle, and vanish in any horizontal bundle.
Вертикальное векторное поле – это векторное поле, принадлежащее вертикальному расслоению. То есть, для каждой точки *e* из *E* выбирается вектор, где – вертикальное векторное пространство в точке *e*.
A vertical vector field is a vector field that is in the vertical bundle. That is, for each point e of E, one chooses a vector where is the vertical vector space at e.
A differentiable r form on E is said to be a horizontal form if whenever at least one of the vectors is vertical. The connection form vanishes on the horizontal bundle, and is non zero only on the vertical bundle. In this way, the connection form can be used to define the horizontal bundle: The horizontal bundle is the kernel of the connection form. The solder form or tautological one form vanishes on the vertical bundle and is non zero only on the horizontal bundle. By definition, the solder form takes its values entirely in the horizontal bundle. For the case of a frame bundle, the torsion form vanishes on the vertical bundle, and can be used to define exactly that part that needs to be added to an arbitrary connection to turn it into a Levi Civita connection, i. e. to make a connection be torsionless. Indeed, if one writes θ for the solder form, then the torsion tensor Θ is given by Θ = D θ (with D the exterior covariant derivative). For any given connection ω, there is a unique one form σ on TE, called the contorsion tensor, that is vanishing in the vertical bundle, and is such that ω+σ is another connection 1 form that is torsion free. The resulting one form ω+σ is nothing other than the Levi Civita connection. One can take this as a definition: since the torsion is given by , the vanishing of the torsion is equivalent to having , and it is not hard to show that σ must vanish on the vertical bundle, and that σ must be G invariant on each fibre (more precisely, that σ transforms in the adjoint representation of G). Note that this defines the Levi Civita connection without making any explicit reference to any metric tensor (although the metric tensor can be understood to be a special case of a solder form, as it establishes a mapping between the tangent and cotangent bundles of the base space, i. e. between the horizontal and vertical subspaces of the frame bundle). In the case where E is a principal bundle, then the fundamental vector field must necessarily live in the vertical bundle, and vanish in any horizontal bundle.
Дифференцируемая *r*-форма *ω* на *E* называется горизонтальной формой, если *ω* = 0 всякий раз, когда хотя бы один из векторов вертикален. Форма связности обращается в нуль на горизонтальном расслоении и ненулевая только на вертикальном расслоении. Таким образом, форму связности можно использовать для определения горизонтального расслоения: горизонтальное расслоение является ядром формы связности. Форма привязки (solder form) или тавтологическая 1-форма обращается в нуль на вертикальном расслоении и ненулевая только на горизонтальном расслоении. По определению, форма привязки принимает свои значения исключительно в горизонтальном расслоении. Для случая расслоения кадров, форма кручения обращается в нуль на вертикальном расслоении и может быть использована для определения той части, которую необходимо добавить к произвольной связности, чтобы превратить её в связность Леви-Чивиты, то есть сделать связность безкрутильной. Действительно, если обозначить форму привязки через *θ*, то тензор кручения Θ задается как Θ = *Dθ* (*D* – внешняя ковариантная производная). Для любой заданной связности *ω* существует единственная 1-форма *σ* на *TE*, называемая тензором конторсии, которая обращается в нуль на вертикальном расслоении и такая, что *ω* + *σ* является другой 1-формой связности, свободной от кручения. Полученная 1-форма *ω* + *σ* является не чем иным, как связностью Леви-Чивиты. Можно принять это за определение: поскольку кручение задается формулой Θ = *Dθ*, обращение кручения в нуль эквивалентно Θ = 0, и несложно показать, что *σ* должно обращаться в нуль на вертикальном расслоении, и что *σ* должно быть *G*-инвариантным на каждом волокне (точнее, что *σ* преобразуется в сопряженном представлении *G*). Обратите внимание, что это определяет связность Леви-Чивиты без явной ссылки на какой-либо метрический тензор (хотя метрический тензор можно рассматривать как частный случай формы привязки, поскольку он устанавливает соответствие между касательным и кокасательным расслоениями базового пространства, то есть между горизонтальными и вертикальными подпространствами расслоения кадров). В случае, когда *E* является главным расслоением, то фундаментальное векторное поле обязательно должно принадлежать вертикальному расслоению и обращаться в нуль в любом горизонтальном расслоении.
A vertical vector field is a vector field that is in the vertical bundle. That is, for each point e of E, one chooses a vector where is the vertical vector space at e.
A differentiable r form on E is said to be a horizontal form if whenever at least one of the vectors is vertical. The connection form vanishes on the horizontal bundle, and is non zero only on the vertical bundle. In this way, the connection form can be used to define the horizontal bundle: The horizontal bundle is the kernel of the connection form. The solder form or tautological one form vanishes on the vertical bundle and is non zero only on the horizontal bundle. By definition, the solder form takes its values entirely in the horizontal bundle. For the case of a frame bundle, the torsion form vanishes on the vertical bundle, and can be used to define exactly that part that needs to be added to an arbitrary connection to turn it into a Levi Civita connection, i. e. to make a connection be torsionless. Indeed, if one writes θ for the solder form, then the torsion tensor Θ is given by Θ = D θ (with D the exterior covariant derivative). For any given connection ω, there is a unique one form σ on TE, called the contorsion tensor, that is vanishing in the vertical bundle, and is such that ω+σ is another connection 1 form that is torsion free. The resulting one form ω+σ is nothing other than the Levi Civita connection. One can take this as a definition: since the torsion is given by , the vanishing of the torsion is equivalent to having , and it is not hard to show that σ must vanish on the vertical bundle, and that σ must be G invariant on each fibre (more precisely, that σ transforms in the adjoint representation of G). Note that this defines the Levi Civita connection without making any explicit reference to any metric tensor (although the metric tensor can be understood to be a special case of a solder form, as it establishes a mapping between the tangent and cotangent bundles of the base space, i. e. between the horizontal and vertical subspaces of the frame bundle). In the case where E is a principal bundle, then the fundamental vector field must necessarily live in the vertical bundle, and vanish in any horizontal bundle.