Вигнер таралу функциясы: уақыт-жиілік талдауында қолданылуы
Wigner distribution function
Винер таралу функциясы: сигнал өңдеудегі уақыт-жиілік талдауы, кванттық механикадағы қолданысы, артықшылықтары мен кемшіліктері. SEO үшін оптимизацияланған.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Вигнер үлестіру функциясы (WDF) сигнал өңдеуде уақыт-жиілік талдауында трансформация ретінде қолданылады. WDF алғаш рет 1932 жылы Юджин Вигнер физикада классикалық статистикалық механикаға кванттық түзетулерді есепке алу үшін ұсынды және ол фазалық кеңістікте кванттық механикада маңызды рөл атқарады (салыстыру үшін қараңыз: Вигнер квази-ықтималдық үлестірімі, сондай-ақ Вигнер функциясы немесе Вигнер-Вильль үлестірімі деп те аталады). Позиция-импульс және уақыт-жиілік конъюгат жұптарының ортақ алгебралық құрылымын ескере отырып, бұл мақаланың тақырыбы – уақыт-жиілік талдауындағы трансформация ретінде сигнал өңдеуде де тиімді қолданылады. Габор трансформациясы сияқты қысқа уақыттық Фурье трансформациясымен салыстырғанда, Вигнер үлестіру функциясы белгісіздік принципінің шектеулерінде математикалық тұрғыдан мүмкін болатын ең жоғары уақыт-жиілік ажыратымдылығын қамтамасыз етеді. Бірақ, кемшілігі – сигнал компоненттерінің кез келген жұбы және оң мен теріс жиіліктер арасында үлкен қиылысу терминдерінің пайда болуы, бұл функцияның бастапқы формуласын көптеген талдау қолданбалары үшін тиімсіз етеді. Кейіннен ұсынылған түзетулер Вигнер үлестіру функциясының өткірлігін сақтай отырып, қиылысу терминдерін басып тастауға бағытталған.
The Wigner distribution function (WDF) is used in signal processing as a transform in time frequency analysis. The WDF was first proposed in physics to account for quantum corrections to classical statistical mechanics in 1932 by Eugene Wigner, and it is of importance in quantum mechanics in phase space (see, by way of comparison: Wigner quasi probability distribution, also called the Wigner function or the Wigner–Ville distribution). Given the shared algebraic structure between position momentum and time frequency conjugate pairs, it also usefully serves in signal processing, as a transform in time frequency analysis, the subject of this article. Compared to a short time Fourier transform, such as the Gabor transform, the Wigner distribution function provides the highest possible temporal vs frequency resolution which is mathematically possible within the limitations of the uncertainty principle. The downside is the introduction of large cross terms between every pair of signal components and between positive and negative frequencies, which makes the original formulation of the function a poor fit for most analysis applications. Subsequent modifications have been proposed which preserve the sharpness of the Wigner distribution function but largely suppress cross terms.
Уақыт-жиілік талдау үлгісі
Уақыт-жиілік талдауында WDF қалай қолданылатынын көрсететін бірнеше мысалдар келтірілген.
Here are some examples illustrating how the WDF is used in time frequency analysis.
Тұрақты кіріс сигналы
Кіріс сигналы тұрақты болғанда, оның уақыт-жиілік таралуы уақыт осі бойымен көлденең сызық түрінде болады. Мысалы, егер x(t) = 1 болса, онда.
When the input signal is constant, its time frequency distribution is a horizontal line along the time axis. For example, if x(t) = 1, then
Синусоидты кіру сигналы
Кіріс сигналы синусоидалық функция болған кезде, оның уақыт-жиілік таралуы уақыт осіне параллель көлденең түзу болып табылады, және синусоидалық сигналдың жиілігімен одан ығыстырылған. Мысалы, егер , онда.
When the input signal is a sinusoidal function, its time frequency distribution is a horizontal line parallel to the time axis, displaced from it by the sinusoidal signal's frequency. For example, if , then
Дельта кіріс сигналы
Кіріс сигналы дельта функциясы болған кезде, ол тек t=0 уақытында нөлден өзгеше болады және шексіз жиілік компоненттерін қамтиды. Сондықтан, оның уақыт-жиілік үлестірілімі координата басынан өтетін тік сызық болуы керек. Демек, дельта функциясының уақыт-жиілік үлестірілімі де дельта функциясы болуы тиіс. WDF арқылы.
When the input signal is a delta function, since it is only non zero at t=0 and contains infinite frequency components, its time frequency distribution should be a vertical line across the origin. This means that the time frequency distribution of the delta function should also be a delta function. By WDF
Вигнер үлестіру функциясы кіріс сигналдың фазасы екінші рет немесе одан төмен болған кезде уақыт-жиілік талдауы үшін ең жақсы жарайды. Мұндай сигналдар үшін WDF кіріс сигналдың уақыт-жиілік үлестірілімін дәл көрсетуге қабілетті.
The Wigner distribution function is best suited for time frequency analysis when the input signal's phase is 2nd order or lower. For those signals, WDF can exactly generate the time frequency distribution of the input signal.
Крос-терминдік қасиет
Вигнер үлестіру функциясы сызықтық түрлендіру емес. Кіріс сигналында бірнеше компонент болғанда "уақыт соғуы" деп аталатын қосымша мүше пайда болады, бұл жиілік соғуына ұқсас. Вигнер квази-ықтималдық үлестірімінде, бұл мүше нақты күту мәндерін алу үшін қажетті маңызды және пайдалы физикалық салдарларға ие. Қысқа уақыттық Фурье түрлендіруінде мұндай ерекшелік жоқ. Вигнер үлестіру функциясының (WDF) теріс қасиеттері классикалық сигналдың Габор шектерін көрсетеді және кез келген кванттық құрылыммен физикалық байланысы жоқ. Төменде Вигнер үлестіру функциясының қосымша мүше ерекшелігін көрсететін мысалдар келтірілген. Қосымша мүше тудыратын қиындықтарды азайту үшін әдебиетте бірнеше тәсілдер ұсынылған, олардың кейбіреулері модификацияланған Вигнер үлестіру функциясы, Габор-Вигнер түрлендіруі, Чой-Уильямс үлестіру функциясы және Коэннің сыныптық үлестіруі сияқты жаңа түрлендірулерге әкелді.
The Wigner distribution function is not a linear transform. A cross term ("time beats") occurs when there is more than one component in the input signal, analogous in time to frequency beats. In the ancestral physics Wigner quasi probability distribution, this term has important and useful physics consequences, required for faithful expectation values. By contrast, the short time Fourier transform does not have this feature. Negative features of the WDF are reflective of the Gabor limit of the classical signal and physically unrelated to any possible underlay of quantum structure. The following are some examples that exhibit the cross term feature of the Wigner distribution function. In order to reduce the cross term difficulty, several approaches have been proposed in the literature, some of them leading to new transforms as the modified Wigner distribution function, the Gabor–Wigner transform, the Choi Williams distribution function and Cohen's class distribution.
Терезелі Вигнер үлестіру функциясы
Сигнал уақыт бойынша шектелмеген болса, оның Вигнер бөлшеу функциясын іске асыру қиын. Сондықтан, біз интегралдау бөлігіне жаңа функция (маска) қосамыз, осылайша біз бастапқы функцияның барлық бөлігін кері шексізден оң шексізге дейін интегралдаудың орнына тек бір бөлігін ғана іске асыруымыз керек. Бастапқы функция: Маскамен жабдықталған функция: нақты және уақыт бойынша шектелген.
When a signal is not time limited, its Wigner Distribution Function is hard to implement. Thus, we add a new function(mask) to its integration part, so that we only have to implement part of the original function instead of integrating all the way from negative infinity to positive infinity. Original function: Function with mask: is real and time limited