Введение

Функция распределения Вигнера (WDF) используется в обработке сигналов как преобразование для анализа во временной и частотной областях. Впервые WDF была предложена в физике Юджином Вигнером в 1932 году для учёта квантовых поправок к классической статистической механике, и она играет важную роль в квантовой механике в фазовом пространстве (см., для сравнения: квазираспределение вероятностей Вигнера, также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера-Виля). Благодаря общей алгебраической структуре между сопряжёнными парами положения-импульса и времени-частоты, она также эффективно применяется в обработке сигналов как преобразование для анализа во временной и частотной областях, что является темой данной статьи. По сравнению с кратковременным преобразованием Фурье, например, преобразованием Габора, функция распределения Вигнера обеспечивает максимально возможное разрешение по времени и частоте, математически допустимое в рамках принципа неопределённости. Однако её недостатком является появление значительных перекрёстных членов между каждой парой компонентов сигнала и между положительными и отрицательными частотами, что делает исходную формулировку функции непригодной для большинства задач анализа. Впоследствии были предложены модификации, сохраняющие чёткость функции распределения Вигнера, но существенно подавляющие перекрёстные члены.

Пример анализа временной частоты

Ниже приведены примеры, демонстрирующие применение WDF в анализе временной частотной области.

Постоянный входный сигнал

Когда входной сигнал постоянен, его временное частотное распределение представляет собой горизонтальную линию вдоль оси времени. Например, если x(t) = 1, то

Синусоидальный входный сигнал

Когда входной сигнал является синусоидальной функцией, его распределение во времени по частоте представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени, отстоящую от неё на величину частоты синусоидального сигнала. Например, если , то

Сигнал входа "Дельта"

Когда входной сигнал является дельта-функцией, поскольку он отличен от нуля только в момент времени t=0 и содержит бесконечное количество частотных компонент, его распределение по времени и частоте должно представлять собой вертикальную линию, проходящую через начало координат. Это означает, что распределение по времени и частоте дельта-функции также должно быть дельта-функцией. Функция распределения Вигнера (WDF) наиболее подходит для анализа временной частотной характеристики сигнала, когда фаза входного сигнала является второй степени или ниже. Для таких сигналов WDF может точно восстановить распределение по времени и частоте входного сигнала.

Крос-терминная собственность

Функция распределения Вигнера не является линейным преобразованием. Перекрестный член ("временные биения") возникает при наличии более одной компоненты во входном сигнале, аналогично частотным биениям во времени. В исходном физическом квазираспределении вероятностей Вигнера этот член имеет важные и полезные физические последствия, необходимые для получения корректных средних значений. В отличие от него, кратковременное преобразование Фурье не обладает этой особенностью. Отрицательные свойства функции распределения Вигнера отражают предел Габора для классического сигнала и физически не связаны с каким-либо возможным квантовым субстратом. Ниже приведены примеры, демонстрирующие перекрестный член в функции распределения Вигнера. Для уменьшения влияния перекрестного члена в литературе предложено несколько подходов, некоторые из которых привели к созданию новых преобразований, таких как модифицированная функция распределения Вигнера, преобразование Габора-Вигнера, функция распределения Чоя-Уильямса и классовое распределение Коэна.

Функция распределения Вингера с окнами

Когда сигнал не ограничен по времени, его функция распределения Вигнера сложно реализовать. Поэтому мы добавляем новую функцию (маску) к интегральной части, чтобы нам нужно было реализовать только часть исходной функции, а не интегрировать от минус бесконечности до плюс бесконечности. Исходная функция: Функция с маской: является вещественной и ограниченной по времени.