Кіріспе

Қосылғанда өзгеретін мән емес

Математикада, қосу операциясымен жабдықталған жиынның қосымша бейтарап елемі – бұл жиынның кез келген x елеміне қосылғанда x-ті қайтаратын элемент. Ең көп танымал қосымша бейтарап элемент – элементар математикадан 0 саны, бірақ қосымша бейтарап элементтер қосу анықталған басқа математикалық құрылымдарда да кездеседі, мысалы, топтар мен сақиналарда.

Ерекше мысалдар

Бастауыш математикадан белгілі қосылысу теңдесі – нөл, 0 деп белгіленеді. Мысалы,

\N (егер 0 кірген болса) табиғи сандар, \Z бүтін сандар, \Q рационал сандар, \R нақты сандар және \C кешенді сандар жиындарында қосылысу теңдесі 0 болады. Яғни, осы жиынның кез келгеніне жататын n саны үшін,

Ресми анықтама

N қосу операциясы бойынша жабық топ болсын, бұл операция + арқылы белгіленеді. N үшін қосымша бірлік элемент, e деп белгіленеді, – N ішіндегі кез келген n элементі үшін,

Қосымша мысалдар

Топта аддитивті сәйкестік – топтың сәйкестік элементі болып табылады, көбінесе 0 деп белгіленеді және бірегей болып табылады (дәлелдемесі төменде келтірілген). Сақина немесе өріс қосу операциясы бойынша топ құрайды, демек, оларда да бірегей аддитивті сәйкестік 0 болады. Егер сақинада (немесе өрісте) бір элементтен артық болса, онда ол көбейту сәйкестігі 1-ден өзгеше деп анықталады. Егер аддитивті және көбейту сәйкестіктері бірдей болса, онда сақина тривиалды болып есептеледі (дәлелдемесі төменде келтірілген). R сақинасы бойынша m × n өлшемді матрицалар сақинасы Mm × n(R)-да аддитивті сәйкестік – нөлдік матрица, ол 'O' немесе '0' деп белгіленеді, және R сақинасының 0 сәйкестік элементінен тұратын m × n матрицасы болып табылады. Мысалы, бүтін сандар бойынша 2 × 2 матрицалар \operatorname{M} 2(\Z)-да аддитивті сәйкестік – ... Кватерниондарда 0 аддитивті сәйкестік болып табылады. \R \to \R функцияларының сақинасында әрбір санды 0-ға бейнелейтін функция – аддитивті сәйкестік. \R^n кеңістігіндегі векторлардың аддитивті тобында координаталық бағыт немесе нөлдік вектор – аддитивті сәйкестік.

Қосымша сәйкестік сақина элементтерін жояды

Қосылу арқылы таралатын көбейту операциясы бар жүйеде, қосуға қатысты бейтарап элемент көбейтуге қатысты сіңіретін элемент болып табылады, яғни S жиынындағы кез келген s үшін 1 = s · 0 = 0 теңдігі орындалады. Бұл мына себепті:

Қосымша және көбейту сәйкестіктері тривиалдық емес сақинада әртүрлі

R сақина болсын және қосымша бірлік 0 пен көбейту бірлігі 1 тең деп есептейік, яғни 0 = 1. r – R сақинасының кез келген элементі болсын. Онда R тривиалды екенін дәлелдейміз, яғни R = {0}. Демек, R тривиалды емес болса, онда 0 ≠ 1 екені көрсетілді.