Введение

Значение, которое не изменяется при сложении.

В математике аддитивный элемент нейтрали для множества, снабженного операцией сложения, — это элемент, который при сложении с любым элементом x из этого множества дает x. Наиболее известным аддитивным элементом нейтрали является число 0 из элементарной математики, но аддитивные элементы нейтрали встречаются и в других математических структурах, где определено сложение, таких как группы и кольца.

Элементарные примеры

При этом аддитивная тождественность, знакомая из элементарной математики, — это ноль, обозначаемый как 0. Например, в множестве натуральных чисел \N (если 0 включено), целых чисел \Z, рациональных чисел \Q, действительных чисел \R и комплексных чисел \C, аддитивная тождественность равна 0. Это означает, что для любого числа n, принадлежащего одному из этих множеств,

Формальное определение

Пусть N — группа, замкнутая относительно операции сложения, обозначаемой +. Аддитивным элементом нейтрали для N, обозначаемым e, называется элемент из N, такой что для любого элемента n из N,

Другие примеры

В группе аддитивная единица является нейтральным элементом группы, часто обозначается 0, и является единственной (см. ниже доказательство). Кольцо или поле является группой относительно операции сложения и, следовательно, также имеет единственную аддитивную единицу 0. Она определяется как отличная от мультипликативной единицы 1, если кольцо (или поле) содержит более одного элемента. Если аддитивная и мультипликативная единицы совпадают, то кольцо является тривиальным (доказано ниже). В кольце матриц размера m × n над кольцом R, Mm × n(R), аддитивной единицей является нулевая матрица, обозначаемая "O" или "0", представляющая собой матрицу размера m × n, все элементы которой равны нейтральному элементу 0 в R. Например, в матрицах 2 × 2 над целыми числами \operatorname{M} 2(\Z) аддитивной единицей является

В кватернионах 0 является аддитивной единицей. В кольце функций из \R в \R функция, отображающая каждое число в 0, является аддитивной единицей. В аддитивной группе векторов в \R^n началом координат или нулевым вектором является аддитивная единица.

Идентичность аддитива уничтожает кольцевые элементы

В системе с операцией умножения, дистрибутивной по сложению, аддитивный нуль является мультипликативным поглощающим элементом, то есть для любого s из S выполняется равенство s · 0 = 0. Это следует из того, что:

Аддитивная и умножающая идентичности различны в нетривиальном кольце

Пусть R – кольцо и предположим, что аддитивный ноль и мультипликативная единица равны, то есть 0 = 1. Пусть r – любой элемент R. Тогда докажем, что R является тривиальным кольцом, то есть R = {0}. Следовательно, показана обратная теорема: если R нетривиально, то 0 ≠ 1.