Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математика мен физикада Кадомцев-Петвиашвили теңдеуі (көбінесе КП теңдеуі деп қысқартылады) — сызықтық емес толқын қозғалысын сипаттауға арналған бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Борис Борисович Кадомцев пен Владимир Иосифович Петвиашвилидің есімдерімен аталатын КП теңдеуі әдетте былай жазылады:
In mathematics and physics, the Kadomtsev–Petviashvili equation (often abbreviated as KP equation) is a partial differential equation to describe nonlinear wave motion. Named after Boris Borisovich Kadomtsev and Vladimir Iosifovich Petviashvili, the KP equation is usually written as
мұндағы . Жоғарыдағы түрі КП теңдеуінің x және y кеңістіктік өлшемдеріне қатысты бір өлшемді Кортевег-де Врис (KdV) теңдеуінің жалпыламаланғанын көрсетеді. Физикалық мағынаға ие болу үшін толқын таралу бағыты x бағытынан тым алыс болмауы керек, яғни y бағытындағы шешімдердің баяу өзгеруі ғана болуы тиіс. KdV теңдеуі сияқты, КП теңдеуі де толық интегралданады. Оны кері шашырау түрлендіруін пайдаланып, сызықтық емес Шредингер теңдеуіне ұқсас түрде де шешуге болады. 2002 жылы КП теңдеуінің реттелген түрі, табиғи түрде Бенджамин–Бона–Махони–Кадомцев–Петвиашвили теңдеуі (немесе жай ғана BBM КП теңдеуі) деп аталатын, 2+1 кеңістікте негізінен x бағытында қозғалатын, аздаған амплитудалы ұзын толқындар үшін баламалы модель ретінде ұсынылды. мұндағы BBM KP теңдеуі, Бенджамин–Бона–Махони теңдеуі классикалық Кортевег–де Врис теңдеуіне қатысты болғандай, әдеттегі KP теңдеуіне балама ұсынады, себебі BBM KP-ның сызықтық дисперсиялық қатынасы KP-ға жақсы жуықтама болып табылады, бірақ Фурье айнымалысы x-ке жақындағандағы қажетсіз шектеулі мінез-құлқымды көрсетпейді. BBM KP теңдеуін Бенджамин–Бона–Махони теңдеуінің әлсіз көлденең бұрылысы ретінде қарастыруға болады. Осының салдарынан, олардың сәйкес Коши проблемаларының шешімдері қызықты және күрделі математикалық қатынасқа ие. Агилар және авторлар BBM KP модель теңдеуі үшін Коши проблемасының шешімі, бастапқы деректері көлденең айнымалы ретінде жақын болған жағдайда, барлық үшін негізделген Соболев кеңістігінде Бенджамин–Бона–Махони теңдеуіне байланысты Коши проблемасының шешімімен үйлеседі деп дәлелдеді.
where The above form shows that the KP equation is a generalization to two spatial dimensions, x and y, of the one dimensional Korteweg–de Vries (KdV) equation. To be physically meaningful, the wave propagation direction has to be not too far from the x direction, i. e. with only slow variations of solutions in the y direction. Like the KdV equation, the KP equation is completely integrable. It can also be solved using the inverse scattering transform much like the nonlinear Schrödinger equation. In 2002, the regularized version of the KP equation, naturally referred to as the Benjamin–Bona–Mahony–Kadomtsev–Petviashvili equation (or simply the BBM KP equation), was introduced as an alternative model for small amplitude long waves in shallow water moving mainly in the x direction in 2+1 space. where The BBM KP equation provides an alternative to the usual KP equation, in a similar way that the Benjamin–Bona–Mahony equation is related to the classical Korteweg–de Vries equation, as the linearized dispersion relation of the BBM KP is a good approximation to that of the KP but does not exhibit the unwanted limiting behavior as the Fourier variable dual to x approaches The BBM KP equation can be viewed as a weak transverse perturbation of the Benjamin–Bona–Mahony equation. As a result, the solutions of their corresponding Cauchy problems share an intriguing and complex mathematical relationship. Aguilar et al. proved that the solution of the Cauchy problem for the BBM KP model equation converges to the solution of the Cauchy problem associated to the Benjamin–Bona–Mahony equation in the based Sobolev space for all , provided their corresponding initial data are close in as the transverse variable .
Тарих
KP теңдеуі алғаш рет 1970 жылы совет физиктері Борис Б. Кадомцев (1928–1998) және Владимир И. Петвяшвили (1936–1993) жазды; ол Кортевег пен Де Врис 1895 жылы шығарған KdV теңдеуінің табиғи жалпылауы болып табылады. KdV теңдеуінде толқындар қатаң түрде бір өлшемді болса, KP теңдеуінде бұл шектеу алынып тасталады. Дегенмен, екі теңдеуде де – KdV және KP – толқындар оң x бағытында қозғалуы тиіс.
The KP equation was first written in 1970 by Soviet physicists Boris B. Kadomtsev (1928–1998) and Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); it came as a natural generalization of the KdV equation (derived by Korteweg and De Vries in 1895). Whereas in the KdV equation waves are strictly one dimensional, in the KP equation this restriction is relaxed. Still, both in the KdV and the KP equation, waves have to travel in the positive x direction.
Физикамен байланысы
KP теңдеуін ұзын толқынды су толқындарын, әлсіз бейсызық қалпына келтіру күштерін және жиілік дисперсиясын модельдеу үшін қолдануға болады. Егер беттік кернеу гравитациялық күштерге қарағанда әлсіз болса, онда ; егер беттік кернеу күшті болса, онда . Теңдеуге x және y мүшелерінің енгізілу жолындағы асимметрияға байланысты, KP теңдеуімен сипатталатын толқындар таралу бағытында (x бағыты) және көлденең (y) бағытында әртүрліше танысады; y бағытындағы тербелістер тегіс болады (шағын ауытқуға ие). KP теңдеуін ферромагниттік ортадағы толқындарды, сондай-ақ Бозе-Эйнштейн конденсаттарындағы екі өлшемді материялық толқын импульстарын модельдеу үшін де пайдалануға болады.
The KP equation can be used to model water waves of long wavelength with weakly non linear restoring forces and frequency dispersion. If surface tension is weak compared to gravitational forces, is used; if surface tension is strong, then Because of the asymmetry in the way x and y terms enter the equation, the waves described by the KP equation behave differently in the direction of propagation (x direction) and transverse (y) direction; oscillations in the y direction tend to be smoother (be of small deviation). The KP equation can also be used to model waves in ferromagnetic media, as well as two dimensional matter–wave pulses in Bose–Einstein condensates.