Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике и физике уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращаемое как уравнение КП) — это частное дифференциальное уравнение для описания нелинейного волнового движения. Уравнение КП, названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили, обычно записывается как
In mathematics and physics, the Kadomtsev–Petviashvili equation (often abbreviated as KP equation) is a partial differential equation to describe nonlinear wave motion. Named after Boris Borisovich Kadomtsev and Vladimir Iosifovich Petviashvili, the KP equation is usually written as
где. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением одномерного уравнения Кортевега — де Вриса (KdV) на два пространственных измерения, x и y. Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком сильно отклонено от направления x, то есть с медленными изменениями решений в направлении y. Как и уравнение KdV, уравнение KP полностью интегрируемо. Его также можно решить с помощью обратного преобразования рассеяния, подобно нелинейному уравнению Шрёдингера. В 2002 году регуляризованная версия уравнения КП, естественно называемая уравнением Бенджамина — Боны — Махони — Кадомцева — Петвиашвили (или просто уравнением BBM KP), была предложена в качестве альтернативной модели для длинных волн малой амплитуды в мелководье, движущихся преимущественно в направлении x в 2+1-мерном пространстве. где. Уравнение BBM KP представляет собой альтернативу обычному уравнению KP, аналогично тому, как уравнение Бенджамина — Боны — Махони связано с классическим уравнением Кортевега — де Вриса, поскольку линейное дисперсионное соотношение BBM KP является хорошим приближением к дисперсионному соотношению KP, но не демонстрирует нежелательного предельного поведения при приближении переменной Фурье, двойственной к x, к. Уравнение BBM KP можно рассматривать как слабое поперечное возмущение уравнения Бенджамина — Боны — Махони. В результате решения соответствующих начальных задач имеют интересную и сложную математическую связь. Агилар и др. доказали, что решение начальной задачи для модельного уравнения BBM KP сходится к решению начальной задачи, связанной с уравнением Бенджамина — Боны — Махони, в пространстве Соболева для всех , при условии, что их соответствующие начальные данные близки в в качестве поперечной переменной .
where The above form shows that the KP equation is a generalization to two spatial dimensions, x and y, of the one dimensional Korteweg–de Vries (KdV) equation. To be physically meaningful, the wave propagation direction has to be not too far from the x direction, i. e. with only slow variations of solutions in the y direction. Like the KdV equation, the KP equation is completely integrable. It can also be solved using the inverse scattering transform much like the nonlinear Schrödinger equation. In 2002, the regularized version of the KP equation, naturally referred to as the Benjamin–Bona–Mahony–Kadomtsev–Petviashvili equation (or simply the BBM KP equation), was introduced as an alternative model for small amplitude long waves in shallow water moving mainly in the x direction in 2+1 space. where The BBM KP equation provides an alternative to the usual KP equation, in a similar way that the Benjamin–Bona–Mahony equation is related to the classical Korteweg–de Vries equation, as the linearized dispersion relation of the BBM KP is a good approximation to that of the KP but does not exhibit the unwanted limiting behavior as the Fourier variable dual to x approaches The BBM KP equation can be viewed as a weak transverse perturbation of the Benjamin–Bona–Mahony equation. As a result, the solutions of their corresponding Cauchy problems share an intriguing and complex mathematical relationship. Aguilar et al. proved that the solution of the Cauchy problem for the BBM KP model equation converges to the solution of the Cauchy problem associated to the Benjamin–Bona–Mahony equation in the based Sobolev space for all , provided their corresponding initial data are close in as the transverse variable .
История
Уравнение КП было впервые сформулировано в 1970 году советскими физиками Борисом Б. Кадомцевым (1928–1998) и Владимиром И. Петвяшвили (1936–1993); оно явилось естественным обобщением уравнения КдВ (выведенного Кортевегом и Де Врисом в 1895 году). В то время как в уравнении КдВ волны строго одномерны, в уравнении КП это ограничение снимается. Однако, как в уравнении КдВ, так и в уравнении КП, волны должны распространяться в положительном направлении оси x.
The KP equation was first written in 1970 by Soviet physicists Boris B. Kadomtsev (1928–1998) and Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); it came as a natural generalization of the KdV equation (derived by Korteweg and De Vries in 1895). Whereas in the KdV equation waves are strictly one dimensional, in the KP equation this restriction is relaxed. Still, both in the KdV and the KP equation, waves have to travel in the positive x direction.
Связь с физикой
Уравнение КП может использоваться для моделирования длинноволновых водяных волн со слабо нелинейными силами восстановления и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение мало по сравнению с силами гравитации, используется ; если поверхностное натяжение велико, то . Из-за асимметрии в способе вхождения членов x и y в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (направление x) и в поперечном (y) направлении; колебания в направлении y, как правило, более гладкие (имеют малые отклонения). Уравнение КП также может использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах, а также двухмерных импульсов материи в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
The KP equation can be used to model water waves of long wavelength with weakly non linear restoring forces and frequency dispersion. If surface tension is weak compared to gravitational forces, is used; if surface tension is strong, then Because of the asymmetry in the way x and y terms enter the equation, the waves described by the KP equation behave differently in the direction of propagation (x direction) and transverse (y) direction; oscillations in the y direction tend to be smoother (be of small deviation). The KP equation can also be used to model waves in ferromagnetic media, as well as two dimensional matter–wave pulses in Bose–Einstein condensates.