Кіріспе
Абстракт алгебрада, толық үлестік сақина немесе бөлшектердің толық сақинасы – бұл коммутативтік сақиналар R-ді жалпылайтын құрылым, онда нөлдік бөлгіштер болуы мүмкін, және бұл құрылым интегралды доменнің бөлшектер өрісі түсінігін кеңейтеді. Бұл құрылым R сақинасын үлкен сақинаға енгізеді, соның нәтижесінде R-дің нөлдік емес әр бөлгіші үлкен сақинада кері шамаға ие болады. Егер R-ден жаңа сақинаға гомоморфизм инъективті болса, онда басқа элементтерге кері шама беру мүмкін емес.
Анықтама
Көбейтуге қатысты коммутативті сақина болсын, ал нөлдік бөлгіштер емес элементтер жиыны болсын; онда бұл жиын көбейту жағынан жабық. Сондықтан сақинаны осы жиын бойынша локализациялауға болады, нәтижесінде толық бөлімдік сақина алынады. Егер сақина домен болса, онда және толық бөлімдік сақина бөлшек өрісімен сәйкес келеді. Бұл , бөлшек өрісін белгілеу үшін де қолданылатынын негіздейді, себебі домен жағдайында ешқандай түсініксіздік туындамайды. Құрылыста нөлдік бөлгіштер болмағандықтан, табиғи бейнелеу инъективті болады, сондықтан толық бөлімдік сақина сақинаның кеңейтілуі болып табылады.
If is a domain, then and the total quotient ring is the same as the field of fractions. This justifies the notation , which is sometimes used for the field of fractions as well, since there is no ambiguity in the case of a domain. Since in the construction contains no zero divisors, the natural map is injective, so the total quotient ring is an extension of .
Мысалдар
А × В өнім сақинасы үшін Q(A × B) жалпы үлестік сақинасы Q(A) × Q(B) жалпы үлестік сақиналарының көбейтіндісі болып табылады. Атап айтқанда, егер A және B интегралды домендер болса, онда ол коэффициенттік өрістердің көбейтіндісі болады. Комплекс сандардың ашық жиынтығы D-дегі голоморфтық функциялар сақинасы үшін, жалпы үлестік сақинасы D-дегі мероморфтық функциялар сақинасы болып табылады, тіпті D байланыспаса да. Артиниялық сақинада барлық элементтер бірлік немесе нөлдік бөлгіштер болып табылады. Сондықтан нөлден тыс бөлгіштердің жиыны сақинаның бірлік тобы болып табылады, және т.б. Бірақ бұл элементтердің барлығының керісі бар болғандықтан, коммутативті фон Нейманның тұрақты сақинасында R да дәл осындай жағдай болады. R-дегі a нөлдік бөлгіш емес деп есептейік. Онда фон Нейманның тұрақты сақинасында a = axa, мұндағы x – R-дегі бір элемент, сондықтан a(xa − 1) = 0 теңдеуі шығады. a нөлдік бөлгіш емес болғандықтан, xa = 1, яғни a бірлік болып табылады. Міне, осы жерде алгебралық геометрияда схемадағы жалпы үлестік сақиналардың шоғын қарастырады, және бұл Картье бөлгішінің анықтамасын беруге қолданылуы мүмкін.
In a commutative von Neumann regular ring R, the same thing happens. Suppose a in R is not a zero divisor. Then in a von Neumann regular ring a = axa for some x in R, giving the equation a(xa − 1) = 0. Since a is not a zero divisor, xa = 1, showing a is a unit. Here again,
In algebraic geometry one considers a sheaf of total quotient rings on a scheme, and this may be used to give the definition of a Cartier divisor.
Жалпылау
Егер R коммутативті сақина болса және S — R-дағы кез келген көбейтуге жабық жиын болса, локализация R<sub>S</sub> әлі де құрастырылуы мүмкін, бірақ R-дан R<sub>S</sub>-қа сақина гомоморфизмі инъективті болуы міндетті емес. Мысалы, егер S = {0} болса, онда R<sub>S</sub> тривиалды сақина болады.