Введение
В абстрактной алгебре, полное частное кольцо или общее кольцо частных — это конструкция, которая обобщает понятие поля частных целостного домена на коммутативные кольца R, которые могут содержать делители нуля. Эта конструкция вкладывает R в большее кольцо, предоставляя каждому ненулевому делителю R обратный элемент в большем кольце. Если гомоморфизм из R в новое кольцо должен быть инъективным, то никаким другим элементам нельзя придать обратный элемент.
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо и пусть D — множество элементов, не являющихся делителями нуля в R; тогда D — мультипликативно замкнутое множество. Следовательно, мы можем локализовать кольцо R по множеству D, чтобы получить полное кольцо частных R_D. Если R — область целостности, то D = R, и полное кольцо частных совпадает с полем частных. Это оправдывает обозначение Frac(R), которое иногда используется и для поля частных, поскольку в случае области целостности нет неоднозначности. Поскольку в построении не содержится делителей нуля, естественное отображение R → R_D инъективно, поэтому полное кольцо частных является расширением R.
If is a domain, then and the total quotient ring is the same as the field of fractions. This justifies the notation , which is sometimes used for the field of fractions as well, since there is no ambiguity in the case of a domain. Since in the construction contains no zero divisors, the natural map is injective, so the total quotient ring is an extension of .
Примеры
Для кольца произведения A × B, полное частное кольцо Q(A × B) является произведением полных частных колец Q(A) × Q(B). В частности, если A и B – целостные области, то это произведение полей частных. Для кольца голоморфных функций на открытом множестве D комплексных чисел, полное частное кольцо является кольцом мероморфных функций на D, даже если D не связно. В артиновом кольце все элементы являются обратимыми или делителями нуля. Следовательно, множество ненулевых делителей является группой обратимых элементов кольца, и так далее. Но поскольку все эти элементы уже имеют обратные, то же самое происходит и в коммутативном регулярном кольце фон Неймана R. Предположим, a в R не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана a = axa для некоторого x в R, что дает уравнение a(xa − 1) = 0. Поскольку a не является делителем нуля, xa = 1, что показывает, что a является обратимым. Здесь, опять же, в алгебраической геометрии рассматривается пучок полных частных колец на схеме, который может быть использован для определения делителя Картье.
In a commutative von Neumann regular ring R, the same thing happens. Suppose a in R is not a zero divisor. Then in a von Neumann regular ring a = axa for some x in R, giving the equation a(xa − 1) = 0. Since a is not a zero divisor, xa = 1, showing a is a unit. Here again,
In algebraic geometry one considers a sheaf of total quotient rings on a scheme, and this may be used to give the definition of a Cartier divisor.
Обобщение
Если R — коммутативное кольцо, а S — любое мультипликативно замкнутое множество в R, то локализацию R относительно S все еще можно построить, но гомоморфизм колец из R в R_S может не быть инъективным. Например, если S = {1}, то R_S — тривиальное кольцо.