Кіріспе
Кванттық механикада Вигнер-Вейль трансформациясы немесе Вейль-Вигнер трансформациясы (Херман Вейль мен Юджин Вигнердің есімдерімен аталады) – кванттық фазалық кеңістіктегі функциялар мен Шредингер суретіндегі Гильберт кеңістігі операторлары арасындағы инвертирленетін бейнелеу. Көбінесе фазалық кеңістіктегі функциялардан операторларға жасалатын бейнелеу Вейль трансформациясы немесе Вейль кванттауы деп аталады, ал операторлардан фазалық кеңістіктегі функцияларға жасалатын кері бейнелеу Вигнер трансформациясы деп аталады. Бұл бейнелеуді Герман Вейль 1927 жылы симметрияланған классикалық фазалық кеңістік функцияларын операторларға бейнелеу мақсатымен жасаған, бұл процедура Вейль кванттауы деп белгілі. Қазір Вейль кванттауы дәйекті кванттау үшін қажетті барлық қасиеттерге ие емес екені және сондықтан кейде физикалық емес нәтижелер беретіні белгілі. Екінші жағынан, төменде сипатталған жақсы қасиеттері классикалық фазалық кеңістіктегі функцияларды операторларға бейнелейтін бір жүйелі процедураны іздесе, Вейль кванттауы ең жақсы нұсқа болып табылады: мұндай бейнелеулердің нормалы координаталары. (Груневольд теоремасы мұндай бейнелеудің барлық қалаған идеалдық қасиеттеріне ие бола алмайтынын көрсетеді.) Дегенмен, Вейль-Вигнер трансформациясы – фазалық кеңістік пен операторлық бейнелеулер арасындағы жақсы анықталған интегралдық трансформация болып табылады және кванттық механиканың жұмыс істеуін түсінуге көмектеседі. Ең маңыздысы, Вигнер квази-ықтималдық таралуы кванттық тығыздық матрицасының Вигнер трансформациясы болып табылады, ал керісінше, тығыздық матрицасы Вигнер функциясының Вейль трансформациясы болып табылады. Вейльдің дәйекті кванттау схемасын іздеудегі бастапқы ниеттеріне қарамастан, бұл бейнелеу кванттық механикадағы бейнелеуді өзгертуге ғана тең келеді; оған «классикалық» және «кванттық» шамаларды байланыстырудың қажеті жоқ. Мысалы, фазалық кеңістіктегі функция бұрыштық импульсқа қатысты кейбір белгілі жағдайларда сияқты, Планк тұрақтысының азайтылуына тікелей тәуелді болуы мүмкін ħ. Бұл инвертирленетін бейнелеу өзгерісі кванттық механиканы фазалық кеңістікте көрсетуге мүмкіндік береді, бұл 1940 жылдары Хилбранд Дж. Гренвольд пен Хосе Энрике Мояль бағалағандай.
In quantum mechanics, the Wigner–Weyl transform or Weyl–Wigner transform (after Hermann Weyl and Eugene Wigner) is the invertible mapping between functions in the quantum phase space formulation and Hilbert space operators in the Schrödinger picture. Often the mapping from functions on phase space to operators is called the Weyl transform or Weyl quantization, whereas the inverse mapping, from operators to functions on phase space, is called the Wigner transform. This mapping was originally devised by Hermann Weyl in 1927 in an attempt to map symmetrized classical phase space functions to operators, a procedure known as Weyl quantization. It is now understood that Weyl quantization does not satisfy all the properties one would require for consistent quantization and therefore sometimes yields unphysical answers. On the other hand, some of the nice properties described below suggest that if one seeks a single consistent procedure mapping functions on the classical phase space to operators, the Weyl quantization is the best option: a sort of normal coordinates of such maps. (Groenewold's theorem asserts that no such map can have all the ideal properties one would desire.) Regardless, the Weyl–Wigner transform is a well defined integral transform between the phase space and operator representations, and yields insight into the workings of quantum mechanics. Most importantly, the Wigner quasi probability distribution is the Wigner transform of the quantum density matrix, and, conversely, the density matrix is the Weyl transform of the Wigner function. In contrast to Weyl's original intentions in seeking a consistent quantization scheme, this map merely amounts to a change of representation within quantum mechanics; it need not connect "classical" with "quantum" quantities. For example, the phase space function may depend explicitly on the reduced Planck constant ħ, as it does in some familiar cases involving angular momentum. This invertible representation change then allows one to express quantum mechanics in phase space, as was appreciated in the 1940s by Hilbrand J. Groenewold and José Enrique Moyal.
Жалпы байқалатын элементтің Вейль квантталуының анықтамасы
Келесі мәтін ең қарапайым, екі өлшемді Евклид фазалық кеңістігіндегі Вейль түрлендіруін түсіндіреді. Фазалық кеңістіктегі координаттар (q,p) деп белгіленсін, ал f – фазалық кеңістікте кез келген нүктеде анықталған функция болсын. Бұдан әрі, біз P және Q операторларын канондық коммутация қатынастарын қанағаттандыратындай етіп бекітеміз, мысалы, Шредингер бейнелеуіндегі дәстүрлі позиция және импульс операторлары сияқты. Экспоненциалды операторлар және Вейль қатынастарының ирредуктибелдік бейнелеуін құрайды деп есептейміз, сондықтан Стоун-Вон-Нойман теоремасы (канондық коммутация қатынастарының бірегейлігін қамтамасыз етеді) орындалады.
Жалпы функцияларды кванттау
Егер f нақты мәнді функция болса, онда оның Вейль картасының кескіні Φ[f] өзіне-өзі қосымша. Егер f Шварц кеңістігінің мүшесі болса, онда Φ[f] іздік класты. Көбінесе, Φ[f] тығыздықпен анықталған шексіз оператор болады. Φ[f] картасы Шварц кеңістігінде бір-бірге сәйкес келеді (квадраттық интегралға ие функциялардың ішкі кеңістігі ретінде).
Жалпылау
Жалпырақ айтқанда, Вейль кванттауы фазалық кеңістік симплектикалық манифольд немесе, мүмкін, Пуассон манифолды болған жағдайларда зерттеледі. Қатысты құрылымдарға Пуассон-Ли топтары және Кац-Муди алгебралары жатады.