Отображение между функциями в квантовом фазовом пространстве

Введение

Картографирование между функциями в квантовом фазовом пространстве

В квантовой механике преобразование Вигнера — Вейля или преобразование Вейля — Вигнера (названо в честь Германна Вейля и Юджина Вигнера) является обратимым отображением между функциями в формулировке квантового фазового пространства и операторами в пространстве Гильберта в картине Шрёдингера. Отображение из функций на фазовом пространстве в операторы часто называют преобразованием Вейля или квантованием Вейля, а обратное отображение, из операторов в функции на фазовом пространстве, — преобразованием Вигнера. Это отображение было первоначально разработано Германном Вейлем в 1927 году в попытке сопоставить симметризованные классические функции фазового пространства операторам, процедуру, известную как квантование Вейля. Теперь установлено, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, необходимым для последовательного квантования, и поэтому иногда даёт нефизические результаты. С другой стороны, некоторые из полезных свойств, описанных ниже, позволяют предположить, что если искать единую последовательную процедуру отображения функций на классическом фазовом пространстве в операторы, то квантование Вейля является наилучшим вариантом: своего рода нормальные координаты для таких отображений. (Теорема Грёненвольда утверждает, что ни одно такое отображение не может обладать всеми желаемыми идеальными свойствами.) В любом случае, преобразование Вейля — Вигнера является чётко определённым интегральным преобразованием между фазовым пространством и операторными представлениями и даёт представление о работе квантовой механики. Наиболее важно, что квазираспределение вероятностей Вигнера является преобразованием Вигнера квантовой матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности является преобразованием Вейля функции Вигнера. В отличие от первоначальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение является лишь изменением представления в квантовой механике; оно не обязательно связывает «классические» и «квантовые» величины. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от приведённой постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве, что было оценено в 1940-х годах Хилбрандом Дж. Грёненвольдом и Хосе Энрике Моялем.

In quantum mechanics, the Wigner–Weyl transform or Weyl–Wigner transform (after Hermann Weyl and Eugene Wigner) is the invertible mapping between functions in the quantum phase space formulation and Hilbert space operators in the Schrödinger picture. Often the mapping from functions on phase space to operators is called the Weyl transform or Weyl quantization, whereas the inverse mapping, from operators to functions on phase space, is called the Wigner transform. This mapping was originally devised by Hermann Weyl in 1927 in an attempt to map symmetrized classical phase space functions to operators, a procedure known as Weyl quantization. It is now understood that Weyl quantization does not satisfy all the properties one would require for consistent quantization and therefore sometimes yields unphysical answers. On the other hand, some of the nice properties described below suggest that if one seeks a single consistent procedure mapping functions on the classical phase space to operators, the Weyl quantization is the best option: a sort of normal coordinates of such maps. (Groenewold's theorem asserts that no such map can have all the ideal properties one would desire.) Regardless, the Weyl–Wigner transform is a well defined integral transform between the phase space and operator representations, and yields insight into the workings of quantum mechanics. Most importantly, the Wigner quasi probability distribution is the Wigner transform of the quantum density matrix, and, conversely, the density matrix is the Weyl transform of the Wigner function. In contrast to Weyl's original intentions in seeking a consistent quantization scheme, this map merely amounts to a change of representation within quantum mechanics; it need not connect "classical" with "quantum" quantities. For example, the phase space function may depend explicitly on the reduced Planck constant ħ, as it does in some familiar cases involving angular momentum. This invertible representation change then allows one to express quantum mechanics in phase space, as was appreciated in the 1940s by Hilbrand J. Groenewold and José Enrique Moyal.

Определение Вейловской квантования общего наблюдаемого

Ниже объясняется преобразование Вейля на самом простом, двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве заданы как (q, p), а f – функция, определенная во всех точках фазового пространства. Далее мы фиксируем операторы P и Q, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, например, обычные операторы координаты и импульса в представлении Шрёдингера. Мы предполагаем, что экспоненты операторов и образуют неприводимое представление соотношений Вейля, вследствие чего выполняется теорема Стоуна — фон Неймана, гарантирующая единственность канонических коммутационных соотношений.

Вейль квантование общих функций

Если f – функция, принимающая действительные значения, то её образ при преобразовании Вейля Φ[f] является самосопряжённым. Если f принадлежит пространству Шварца, то Φ[f] является оператором класса следа. В более общем случае, Φ[f] – это плотно определенный неограниченный оператор. Преобразование Φ[f] является взаимно однозначным на пространстве Шварца (рассматриваемом как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Обобщения

В более общем случае, квантование Вейля изучается в ситуациях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием или, возможно, многообразием Пуассона. К связанным структурам относятся группы Пуассона — Ли и алгебры Каца — Муди.