Кіріспе
Симплициалдық кешендегі сілтеме – графтардағы төбелердің айналасындағы аймақтың обобщениеі. Бір төбеге қатысты сілтеме сол төбедегі кешеннің жергілікті құрылымы туралы ақпаратты қамтиды.
Басты нүкте байланысы
Абстрактілік қарапайым кешен X және оның төбесі , оның байланысы – және X-тің беті болатын барлық беттерді қамтитын жиын. Егер X – 1 өлшемді кешен (яғни: граф) болса, онда байланыс – графтың ішіндегі нүктеге жақын барлық төбелер, яғни нүктенің графтағы көршілесі. Геометриялық симплициалдық кешен X және үшін, оның байланысы – және түбесі мен беті бар simplex болатын барлық беттерді қамтитын жиын. Балама түрінде, қосылу – бет болып табылады. Мысалы, егер v – сол жақтағы тетраэдрдің жоғарғы төбесі болса, онда v-нің байланысы – тетраэдрдің табанындағы үшбұрыш. Себебі, осы үшбұрыштың әр қабырғасы үшін v-мен осы қабырғаның қосылуы үшбұрыш құрайды (тетраэдрдің бүйір жақтарындағы үш үшбұрыштың бірі); ал v-мен үшбұрыштың өзінің қосылуы – бүкіл тетраэдр. Басқаша анықтама: төбе v-нің байланысы – Lk(v, X) графигі, келесідей құрылған. Lk(v, X) графигінің төбелері – v-ге жанасатын X-тің қабырғалары. Егер олар v-де ортақ 2 жасушаға жанасатын болса, онда Lk(v, X) графигінде екі мұндай қабырға іргелес болады. Lk(v, X) графигіне көбінесе v орталығында орналасқан кішкентай радиусты шардың топологиясы беріледі; ол нүкте орталығында орналасқан сфераға ұқсас.
As an example, suppose v is the top vertex of the tetrahedron at the left. Then the link of v is the triangle at the base of the tetrahedron. This is because, for each edge of that triangle, the join of v with the edge is a triangle (one of the three triangles at the sides of the tetrahedron); and the join of v with the triangle itself is the entire tetrahedron. An alternative definition is: the link of a vertex is the graph Lk(v, X) constructed as follows. The vertices of Lk(v, X) are the edges of X incident to v. Two such edges are adjacent in Lk(v, X) iff they are incident to a common 2 cell at v.
The graph Lk(v, X) is often given the topology of a ball of small radius centred at v; it is an analog to a sphere centered at a point.
Беттің байланысы
Байланыстың анықтамасын бір түйінден кез келген жаққа дейін кеңейтуге болады. Абстрактты симплициалдық кешен X және X-тің кез келген жағын қарастыра отырып, оның байланысы – әр жақты қамтитын жиын, олар бір-бірімен қиылыспайды және X-тің жағы болып табылады:
Геометриялық симплициалдық кешен X және кез келген жақ үшін, оның байланысы – әр жақты қамтитын жиын, олар бір-бірімен қиылыспайды және олардың екеуі де жақтары болатын симплекс X-те бар.
Мысалдар
Тетраэдрдің төбесіне байланысты үшбұрыш – бұл төбеге жанасқан үш қабырғаға сәйкес келетін үш төбеден тұрады, ал байланыстың үш қабырғасы төбеге жанасқан қырларға сәйкес келеді. Бұл мысалда, байланысты төбеден жазықтықпен кесіп визуализациялауға болады; формальды түрде, тетраэдрді төбеге жақын жазықтықпен қиып, нәтижедегі қима – бұл байланыс. Төменде тағы бір мысал көрсетілген. Екі өлшемді симплициалды кешен бар. Сол жақта төбе сары түспен белгіленген. Оң жақта сол төбенің байланысы жасыл түспен белгіленген.
Қасиеттері
Кез келген симплициалдық кешен X үшін, әрбір байланыс төмен қарай жабық болады, демек ол да симплициалдық кешен; ол X-тің ішкі кешені. X симплициалдық болғандықтан, және жиыны арасында жиындық изоморфизм бар: әрбір элементке , яғни , сәйкес келеді, және ол жиынында болады.
Тіркеме мен жұлдыз
Бұл түйінмен тығыз байланысты ұғым – жұлдыз. Абстрактты симплициалдық комплекс X және кез келген жақ ,, берілген болса, оның жұлдызы – X-тің жағы болып табылатын әрбір жақты қамтитын жиын. Ерекше жағдайда, егер X – 1 өлшемді комплекс (яғни: граф) болса, онда ол – берілген нүктеге жақын барлық төбелері үшін барлық қабырғаларды қамтиды. Яғни, бұл – сол нүктеде ортасы орналасқан граф теориялық жұлдыз.
Геометриялық симплициалдық комплекс X және кез келген жақ ,, берілген болса, оның жұлдызы – екі жақ ретінде ,, және ,, жақтарын қамтитын симплекс болатын әрбір жақты қамтитын жиын. Басқаша айтқанда, бұл – жақ ретінде ,, жағын қамтитын симплекстер жиынының жабылуы. Сондықтан, түйін – жұлдыздың ішкі жиыны болып табылады. Жұлдыз бен түйін келесідей байланысты:
Кез келген ,, үшін,
Кез келген ,, үшін, , яғни, ,, нүктесінің жұлдызы – оның ,, нүктесіндегі түйінінің конусы.
For any , , that is, the star of is the cone of its link at
Мысал төменде көрсетілген. Екі өлшемді симплициалдық комплекс бар. Сол жақта төбе сары түспен белгіленген. Оң жақта – сол төбенің жұлдызы жасыл түспен белгіленген.