Введение

Ссылка в симплициальном комплексе является обобщением окрестности вершины в графе. Ссылка вершины кодирует информацию о локальной структуре комплекса в окрестности вершины.

Связь вершины

Для абстрактного симплициального комплекса X и вершины в X, её связность – это множество, содержащее все грани, такие что и является гранью X. В частном случае, когда X является одномерным комплексом (то есть графом), связность содержит все вершины, такие что является ребром в графе; то есть, окрестность вершины в графе. Для геометрического симплициального комплекса X и вершины , её связность – это множество, содержащее все грани, такие что и существует симплекс в X, имеющий в качестве вершины и в качестве грани. Эквивалентно, объединение является гранью в . В качестве примера, предположим, что v – верхняя вершина тетраэдра слева. Тогда связность v – это треугольник в основании тетраэдра. Это происходит потому, что для каждого ребра этого треугольника, объединение v с ребром является треугольником (одним из трех треугольников на сторонах тетраэдра); а объединение v с самим треугольником является всем тетраэдром. Альтернативное определение: связность вершины – это граф Lk(v, X), построенный следующим образом. Вершинами Lk(v, X) являются ребра X, инцидентные вершине v. Два таких ребра смежны в Lk(v, X) тогда и только тогда, когда они инцидентны общей 2-ячейке в v. Граф Lk(v, X) часто наделяют топологией шара малого радиуса, центрированного в v; это аналог сферы, центрированной в точке.

Ссылка лица

Определение связи может быть расширено от одной вершины до любой грани. Для абстрактного симплициального комплекса X и любой грани X, его связность — это множество, содержащее все грани, такие что они не имеют общих вершин, и является гранью X.

Для геометрического симплициального комплекса X и любой грани, его связность — это множество, содержащее все грани, такие что они не имеют общих вершин и существует симплекс в X, имеющий обе грани в качестве своих граней.

Примеры

Связь вершины тетраэдра представляет собой треугольник – три вершины связи соответствуют трем ребрам, инцидентным вершине, а три ребра связи соответствуют граням, инцидентным вершине. В этом примере связь можно визуализировать, отсекая вершину плоскостью; формально, пересекая тетраэдр плоскостью вблизи вершины – полученное сечение и является связью. Другой пример иллюстрирован ниже. Здесь представлен двухмерный симплициальный комплекс. Слева вершина выделена желтым цветом. Справа связь этой вершины выделена зеленым цветом.

Свойства

Для любого симплициального комплекса X, каждое связное множество замкнуто относительно понижающих симплексов и, следовательно, также является симплициальным комплексом; это подкомплекс X. Поскольку X является симплициальным, существует изоморфизм множеств между и множеством : каждому соответствует , который принадлежит .

Ссылка и звезда

Концепция, тесно связанная со связью, – это звезда. Для абстрактного симплициального комплекса X и любой грани σ, звезда этой грани – это множество, содержащее каждую грань τ, такую что σ является гранью τ в X. В частном случае, когда X является одномерным комплексом (то есть графом), звезда σ содержит все рёбра для всех вершин, являющихся соседями σ. Иными словами, это графотеоретическая звезда с центром в σ.

Для геометрического симплициального комплекса X и любой грани σ, звезда σ – это множество, содержащее каждую грань τ, такую что существует симплекс в X, имеющий как σ, так и τ в качестве граней. Другими словами, это замыкание множества {симплексы, имеющие σ в качестве грани}. Таким образом, связь является подмножеством звезды. Звезда и связь связаны следующим образом:

Для любой грани σ,
Для любой грани σ, star(σ) = cone(link(σ)), то есть звезда σ является конусом над её связью в σ.

Пример иллюстрирован ниже. Показан двухмерный симплициальный комплекс. Слева отмечена жёлтым цветом вершина. Справа отмечена зелёным цветом звезда этой вершины.