Бұрылған K-теориясы: Математика мен физикадағы қолданыстары

Кіріспе

Математикада бұрмаланған K теориясы (жергілікті коэффициенттері бар K теориясы деп те аталады) – 1950 жылдардағы алгебралық топология, абстрактілі алгебра және операторлық теорияны қамтитын K теориясының бір түрі. Нақтырақ айтқанда, H бұрылысымен бұрмаланған K теориясы – K теориясының ерекше нұсқасы болып табылады, онда бұрылыс интегралды 3 өлшемді когомология класы арқылы беріледі. K теориясы екі себептен басқа бұрылыстардың арасында ерекше. Біріншіден, ол геометриялық тұжырымдамаға ие. Бұл екі қадаммен жүзеге асырылды: біріншісі 1970 жылы (Publ. Math. de l'IHÉS) Питер Донован мен Макс Каруби жасады, екіншісі – 1988 жылы Джонатан Розенбергтің «Түйіндік теориялық тұрғыдан қарағандағы жалғастыра алатын алгебралар» еңбегінде. Физикада бұл теория D-браналарды, Рамонд-Рамонд өрісінің күшін және кейбір жағдайларда тіпті II типті жол теориясындағы спинорларды жіктеуге арналған деп болжанады. Жол теориясындағы бұрмаланған K теориясы туралы толық ақпарат алу үшін K теориясы (физика) деген мақаланы қараңыз. K теориясының кең контекстінде, әр сала бойынша көптеген изоморфты тұжырымдамалар бар және көптеген жағдайларда әртүрлі салалардағы анықтамаларды байланыстыратын изоморфизмдер дәлелденген. Сондай-ақ, көптеген деформациялар бар, мысалы, абстрактілі алгебрада K теориясын кез келген интегралды когомология класы бұрмалай алады.

К-теориясымен байланысы

Тривиальды жағдайда бұрмаланған K теориясы, бұрмаланбаған K теориясымен бірдей, ол сақина болып табылады. Бірақ, жағдай тривиальды емес болғанда, бұл теория енді сақина емес. Онда қосу операциясы бар, бірақ көбейту бойынша жабық емес. Дегенмен, барлық мүмкін бұрылыстар бойынша бұрмаланған K теорияларының тікелей қосындысы сақина болып табылады. Атап айтқанда, бұрылыспен K теориясының бір элементін, басқа бұрылыспен K теориясының элементімен көбейту нәтижесінде, осы бұрылыспен бұрмаланған K теориясының элементі шығады. Бұл элементті Fredholm операторларының қосымшаларын пайдаланып, жоғарыдағы анықтамадан тікелей құрастыруға болады, және олардан нақты 2x2 матрица жасауға болады (1-қараңыз, онда табиғи және жалпы Z/2 санатталған нұсқасы да ұсынылған). Әсіресе, бұрмаланған K теориясы классикалық K теориясының модулі болып табылады.

Есептеулер

Физиктер әдетте Atiyah–Hirzebruch спектрлік тізбесін қолдана отырып, бұрмаланған K-теориясын есептеуді қалайды. Идея мынада: егер бұрмаланған немесе бұрмаланған кохомологияны есептеуді жоспарласа, барлық жұп немесе барлық тақ интегралды кохомологиядан басталады, содан кейін дифференциалды операторлар тізбегіне қатысты кохомология алынады. Мысалы, бірінші оператор , – бұл үш кластың қосындысы , ол жота теориясында Неву-Шварц 3-формасына сәйкес келеді және үшінші Стинрод квадраты. Келесі оператор үшін , элементарлық форма табылмады, бірақ бірнеше болжамдық формалар бар. Жоғары операторлар сыншыл суперструна теориясындағы қызығушылық тудыратын 10-өлшемді кеңістіктің теориясына әсер етпейді. Рационалдар бойынша Майкл Атиях және Грейм Сегал барлық дифференциалдардың Масси өнімдеріне дейін кемитінін көрсетті. Дифференциалдардың толық тізбегіне қатысты кохомологияны алғаннан кейін, бұрмаланған теория жиын ретінде алынады, бірақ толық топтық құрылымды алу үшін, әдетте, кеңейту мәселесін шешу қажет.

Мысал: үш сфера

Үш сфераның тривиальды кохомологиясы тек және бөлігінен басқасы тривиальды, олар екеуі де бүтін сандарға изоморфты. Осылайша, жұп және тақ кохомологиялар екеуі де бүтін сандарға изоморфты. Үш сфераның өлшемі үшке тең болғандықтан, ол бесеуден кіші, үшінші Стинрод квадраты оның кохомологиясында тривиальды, сондықтан бірінші тривиальды емес дифференциал жай ғана. Кейінгі дифференциалдар кохомология класының дәрежесін үштен астамға арттырады, сондықтан олар да тривиальды; демек, бұрмаланған теория – оператордың кохомологиясы, ол класқа 3 класымен біріктіріп әсер етеді. Егер тривиальды класс, нөл болса, онда да тривиальды. Осылайша, оның бүкіл домені оның ядросы болып табылады және оның бейнесінде ештеңе жоқ. Сондықтан – түзу кохомологиядағы ядросы, яғни толық түзу кохомология, ол бүтін сандардан тұрады. Сол сияқты, – тақ кохомологияны бейнесімен бөлуден тұрады, яғни тривиальды топпен бөлуден. Бұл түпнұсқалық тақ кохомологияны қалдырады, ол қайтадан бүтін сандар. Қорытындылай келе, тривиальды бұрылысы бар үш сфераның және бүтін сандарға изоморфты. Күткендей, бұл бұрмаланбаған теориямен сәйкес келеді. Енді тривиальды емес жағдайды қарастырайық. – үшінші интегралды кохомологияның, бүтін сандарға изоморфты элементі ретінде анықталады. Осылайша, – санға сәйкес келеді, оны деп атаймыз. элементті алса, элементін береді. нөлге тең емес болғандықтан, ядросының жалғыз элементі нөл элементі, сондықтан . бейнесі бүтін сандардың көбейтіндісі болып табысатын барлық элементтерінен тұрады. Сондықтан, тақ кохомология, , бейнесімен, , бөлінгенде реттің циклдік тобын береді. Қорытындылай келе, бұл нәтиже 3 сферадағы D-браналардың жіктелуін қайталайды, бірлігіндегі флюксіне сәйкес, бұл суперсимметриялық WZW моделіндегі симметриялық шекаралық шарттар жиынтығына сәйкес келеді. Бұл есептеме SU(3) тобының манифольдына кеңейтіледі. Бұл жағдайда, ішіндегі Стинрод квадраттық мүшесі, оператор және кеңейту мәселесі тривиальды емес.

The three sphere, , has trivial cohomology except for and which are both isomorphic to the integers. Thus the even and odd cohomologies are both isomorphic to the integers. Because the three sphere is of dimension three, which is less than five, the third Steenrod square is trivial on its cohomology and so the first nontrivial differential is just The later differentials increase the degree of a cohomology class by more than three and so are again trivial; thus the twisted theory is just the cohomology of the operator which acts on a class by cupping it with the 3 class
Imagine that is the trivial class, zero. Then is also trivial. Thus its entire domain is its kernel, and nothing is in its image. Thus is the kernel of in the even cohomology, which is the full even cohomology, which consists of the integers. Similarly consists of the odd cohomology quotiented by the image of , in other words quotiented by the trivial group. This leaves the original odd cohomology, which is again the integers. In conclusion, and of the three sphere with trivial twist are both isomorphic to the integers. As expected, this agrees with the untwisted theory. Now consider the case in which is nontrivial. is defined to be an element of the third integral cohomology, which is isomorphic to the integers. Thus corresponds to a number, which we will call now takes an element of and yields the element of As is not equal to zero by assumption, the only element of the kernel of is the zero element, and so The image of consists of all elements of the integers that are multiples of Therefore, the odd cohomology, , quotiented by the image of , , is the cyclic group of order , In conclusionIn string theory this result reproduces the classification of D branes on the 3 sphere with units of flux, which corresponds to the set of symmetric boundary conditions in the supersymmetric WZW model at level
There is an extension of this calculation to the group manifold of SU(3). In this case the Steenrod square term in , the operator , and the extension problem are nontrivial.