Введение

В математике, скрученная K-теория (также называемая K-теорией с локальными коэффициентами) является вариацией K-теории, математической теории, возникшей в 1950-х годах и охватывающей алгебраическую топологию, абстрактную алгебру и теорию операторов. Более конкретно, скрученная K-теория с кручением H является особым вариантом K-теории, в котором кручение задается интегральным 3-мерным классом когомологий. Она выделяется среди различных кручений, допускаемых K-теорией, по двум причинам. Во-первых, она допускает геометрическую формулировку. Эта формулировка была получена в два этапа: первый – в 1970 году (Publ. Math. de l'IHÉS) Питером Донованом и Максом Каруби, второй – в 1988 году Джонатаном Розенбергом в работе «Алгебры непрерывного следа с точки зрения теории расслоений». В физике предполагается, что она классифицирует D-браны, поля Рамонда-Рамонда и, в некоторых случаях, даже спиноры в теории струн II типа. Более подробную информацию о скрученной K-теории в теории струн можно найти в статье «K-теория (физика)». В более широком контексте K-теории, в каждой области она имеет множество изоморфных формулировок, и во многих случаях доказаны изоморфизмы, связывающие определения в различных областях. Она также имеет множество деформаций; например, в абстрактной алгебре K-теорию можно скрутить любым интегральным классом когомологий.

Связь с К-теорией

Когда класс тривиален, извращённая K-теория совпадает с не извращённой K-теорией, которая является кольцом. Однако, когда класс нетривиален, эта теория перестаёт быть кольцом. В ней есть сложение, но она больше не замкнута относительно умножения. Тем не менее, прямая сумма извращённых K-теорий с использованием всех возможных скруток является кольцом. В частности, произведение элемента K-теории со скруткой на элемент K-теории со скруткой даёт элемент K-теории, скрученной на . Этот элемент можно непосредственно построить из вышеприведённого определения, используя сопряжённые операторы Фредгольма и сконструировать из них конкретную матрицу 2x2 (см. ссылку 1, где также представлена более естественная и общая Z/2-градуированная версия). В частности, извращённая K-теория является модулем над классической K-теорией.

Расчеты

Физики обычно стремятся вычислить извращенную K-теорию, используя спектральную последовательность Атия — Хирцебруха. Идея заключается в том, что начинают со всех четных или всех нечетных интегральных когомологий, в зависимости от того, какую извращенную K-теорию или извращенную K-теорию нужно вычислить, а затем берут когомологию относительно ряда дифференциальных операторов. Первый оператор, например, является суммой трех классов Черна, которые в теории струн соответствуют трехмерной форме Неveu-Schwarz и третьему квадрату Стинрода. Элементарной формы для следующего оператора пока не найдено, хотя существует несколько предполагаемых вариантов. Операторы более высокого порядка не вносят вклад в K-теорию 10-мерного многообразия, что является размерностью, представляющей интерес в критической теории суперструн. Над рациональными числами Майкл Атия и Грэм Сегал показали, что все дифференциалы сводятся к произведениям Масси. После взятия когомологии относительно полного ряда дифференциалов получается извращенная K-теория как множество, но для получения полной групповой структуры в общем случае необходимо решить задачу расширения.

Пример: три сферы

Три сферы, , имеют тривиальную кохомологию, за исключением и , которые обе изоморфны целым числам. Таким образом, четная и нечетная кохомологии обе изоморфны целым числам. Поскольку три сферы имеют размерность 3, которая меньше 5, третий квадрат Стинрода тривиален на их кохомологии, и поэтому первый нетривиальный дифференциал равен . Последующие дифференциалы увеличивают степень кохомологического класса более чем на три и поэтому снова тривиальны; таким образом, скрученная теория – это просто кохомология оператора , который действует на класс, соединяя его с классом 3. Представьте, что это тривиальный класс, ноль. Тогда и тоже тривиален. Таким образом, вся его область определения является его ядром, и ничего не принадлежит его образу. Следовательно, является ядром в четной кохомологии, которая является полной четной кохомологией и состоит из целых чисел. Аналогично, состоит из нечетной кохомологии, фактор-группы по образу , другими словами, фактор-группы по тривиальной группе. Это оставляет исходную нечетную кохомологию, которая опять же является целыми числами. В заключение, и из трех сфер с тривиальным скручиванием обе изоморфны целым числам. Как и ожидалось, это согласуется с нескрученной теорией. Теперь рассмотрим случай, в котором нетривиален. определяется как элемент третьей интегральной кохомологии, которая изоморфна целым числам. Таким образом, соответствует числу, которое мы назовем . Теперь берет элемент из и выдает элемент из . Поскольку по предположению не равен нулю, единственным элементом ядра является нулевой элемент, и поэтому образ состоит из всех элементов целых чисел, кратных . Следовательно, нечетная кохомология, , фактор-группа по образу , , является циклической группой порядка . В заключение, в теории струн этот результат воспроизводит классификацию D-бран на 3-сфере с единицами потока, что соответствует набору симметричных граничных условий в суперсимметричной модели WZW на уровне . Существует расширение этого вычисления на групповое многообразие SU(3). В этом случае член квадрата Стинрода в , оператор и задача расширения нетривиальны.