Кіріспе
Математикада гиперболалық Дехн хирургиясы — берілген гиперболалық 3-көптіктерден қосымша гиперболалық 3-көптіктер алуға мүмкіндік беретін операция. Гиперболалық Дехн хирургиясы тек үш өлшемде ғана кездеседі және үш өлшемдегі гиперболалық геометрияны басқа өлшемдерден ерекшелейді. Мұндай операция көбінесе гиперболалық Дехн толтыру деп аталады, себебі Дехн хирургиясының нақты мағынасы — сілтеменің маңайын бұрғылап, содан кейін қатты торлармен толтыру операциясы. Гиперболалық Дехн хирургиясы шын мәнінде тек "толтыруды" қамтиды. Әдетте, гиперболалық 3-көптік толық деп есептелінеді. Егер M — n құйрығы бар гиперболалық 3-көптік болса, онда оны топологиялық тұрғыдан торалық шекарасы бар ықшам көптіктердің ішкі бөлігі ретінде қарастыруға болады. Әрбір шекаралық тор үшін меридиан мен бойлықты таңдап аламыз, яғни тордың негізгі тобының генераторлары болып табылатын жай ғана жабық қисықтарды. M-ден алынған көптікті i-ші шекаралық торды тұтас тормен, беткейі болатын толтыру арқылы белгілейміз, мұнда және — өзара жай сандар. -ны деп қабылдауға болады, яғни сол құйрықты толтырмаймыз, демек "бос" Дехн толтыруын жасаймыз. Сондықтан M = . H кеңістігін шекті көлемді гиперболалық 3-көптіктер жиынымен және геометриялық топологиямен жабдықтаймыз. Терстонның гиперболалық Дехн хирургиясы туралы теоремасы: әрбір i үшін i-ші құйрыққа қатысты ерекше беткейлердің шекті жиынтығын болдырмайынша, гиперболалық болады. H кеңістігіндегі M, барлық бос емес Дехн толтыруларына сәйкес келеді. Бұл теорема Уильям Терстонға тиесілі және гиперболалық 3-көптіктер теориясының негізгі тұсы болып табылады. Ол H-да тривиальды емес шектердің бар екенін көрсетеді. Трёльс Йоргенсеннің геометриялық топологияны зерттеуі тривиальды емес шектердің бар екенін де көрсетеді. Терстонның тағы бір маңызды нәтижесі — гиперболалық Дехн толтыру кезінде көлемнің кемуі. Теорема, әрине, Дехн толтырылған көптік гиперболалық болған жағдайда, топологиялық Дехн толтыру кезінде көлемнің кемитінін көрсетеді. Дәлелдеме Громов нормасының негізгі қасиеттеріне сүйенеді. Йоргенсен сондай-ақ бұл кеңістіктегі көлем функциясы үздіксіз және дұрыс функция екенін көрсетті. Осылайша, бұрынғы нәтижелерге сәйкес, H-дағы тривиальды емес шектер көлемдер жиынтығындағы тривиальды емес шектерге айналады. Шын мәнінде, Терстон сияқты, шекті көлемді гиперболалық 3-көптіктердің көлемдер жиынтығы ординалдық типке ие екенін қорытуға болады. Бұл нәтиже Терстон-Йоргенсен теоремасы деп аталады. Бұл жиынтықты сипаттауға қатысты қосымша жұмыстарды Громов жасады. Сегіздік түйін және (2, 3, 7) претцель түйіні — комплементтерінде 6-дан астам ерекше операциялары бар екі түйін ғана; олардың саны сәйкесінше 10 және 7-ге тең. Камерон Гордон гиперболалық түйіннің кез келген комплементінің ерекше операцияларының ең көп саны 10-ға тең деп болжады. Бұл Марк Лакенби және Роб Мейерхофф дәлелдеді, олар ерекше беткейлердің саны кез келген ықшам бағытталған 3-көптік үшін, шекарасы тор және ішкі шекті көлемді гиперболалық болған жағдайда 10-ға тең екенін көрсетті. Олардың дәлелдемесі Григорий Перельман бастаған геометриялық болжамды дәлелдеуге және компьютерлік көмекке негізделген. Қазіргі уақытта сегіздік түйіннің 10 шекарасына жететін жалғыз түйін екені белгісіз. Бір болжам бойынша, шектелген (аталған екі түйіннен басқа) — 6. Аголь ерекше беткейлер саны 9 немесе 10 болатын жағдайлардың саны шектеулі екенін көрсетті.
We equip the space H of finite volume hyperbolic 3 manifolds with the geometric topology. Thurston's hyperbolic Dehn surgery theorem states: is hyperbolic as long as a finite set of exceptional slopes is avoided for the i th cusp for each i. converges to M in H as all for all corresponding to non empty Dehn fillings
This theorem is due to William Thurston and fundamental to the theory of hyperbolic 3 manifolds. It shows that nontrivial limits exist in H. Troels Jorgensen's study of the geometric topology further shows that all nontrivial limits arise by Dehn filling as in the theorem. Another important result by Thurston is that volume decreases under hyperbolic Dehn filling. The theorem states that volume decreases under topological Dehn filling, assuming of course that the Dehn filled manifold is hyperbolic. The proof relies on basic properties of the Gromov norm. Jørgensen also showed that the volume function on this space is a continuous, proper function. Thus by the previous results, nontrivial limits in H are taken to nontrivial limits in the set of volumes. In fact, one can further conclude, as did Thurston, that the set of volumes of finite volume hyperbolic 3 manifolds has ordinal type This result is known as the Thurston Jørgensen theorem. Further work characterizing this set was done by Gromov. The figure eight knot and the ( 2, 3, 7) pretzel knot are the only two knots whose complements are known to have more than 6 exceptional surgeries; they have 10 and 7, respectively. Cameron Gordon conjectured that 10 is the largest possible number of exceptional surgeries of any hyperbolic knot complement. This was proved by Marc Lackenby and Rob Meyerhoff, who show that the number of exceptional slopes is 10 for any compact orientable 3 manifold with boundary a torus and interior finite volume hyperbolic. Their proof relies on the proof of the geometrization conjecture originated by Grigori Perelman and on computer assistance. It is currently unknown whether the figure eight knot is the only one that achieves the bound of 10. One conjecture is that the bound (except for the two knots mentioned) is 6. Agol has shown that there are only finitely many cases in which the number of exceptional slopes is 9 or 10.