Введение

В математике, гиперболическая операция Дена — это операция, посредством которой можно получить дополнительные гиперболические 3-многообразия из заданного куспенда гиперболического 3-многообразия. Гиперболическая операция Дена существует только в третьем измерении и отличает гиперболическую геометрию в трех измерениях от других измерений. Такая операция часто также называется гиперболическим заполнением Дена, так как операция Дена в строгом смысле относится к операции «сверление и заполнение» на зацеплении, которая состоит из высверливания окрестности зацепления и последующего заполнения твердыми торами. Гиперболическая операция Дена на самом деле включает только «заполнение». Мы будем считать, что гиперболический 3-многообраз полный. Предположим, что M — куспенда гиперболический 3-многообраз с n куспами. M можно рассматривать, топологически, как внутреннюю часть компактного многообразия с торальной границей. Предположим, что мы выбрали меридиан и долготу для каждого граничного тора, то есть простые замкнутые кривые, являющиеся образующими фундаментальной группы тора. Пусть обозначает многообразие, полученное из M путем заполнения i-го граничного тора твердым тором с использованием наклона , где каждая пара и — взаимно простые целые числа. Мы допускаем, что может быть равно бесконечности, что означает, что мы не заполняем этот кусп, то есть выполняем «пустое» заполнение Дена. Итак, M = . Мы наделяем пространство H конечного объема гиперболических 3-многообразий геометрической топологией. Теорема Турстона об гиперболической операции Дена гласит: является гиперболическим, пока для i-го куспа для каждого i избегается конечное множество исключительных наклонов . сходится к M в H при всех , для всех , соответствующих непустым заполнениям Дена. Эта теорема принадлежит Уильяму Турстону и является фундаментальной для теории гиперболических 3-многообразий. Она показывает, что нетривиальные пределы существуют в H. Исследование Троельса Йоргенсена показывает, что все нетривиальные пределы возникают путем заполнения Дена, как в теореме. Другой важный результат Турстона заключается в том, что объем уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, при условии, конечно, что заполненный Деном многообраз является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова. Йоргенсен также показал, что функция объема на этом пространстве является непрерывной и собственной функцией. Таким образом, по предыдущим результатам, нетривиальные пределы в H переходят в нетривиальные пределы в множестве объемов. Фактически, можно сделать вывод, как и Турстон, что множество объемов конечного объема гиперболических 3-многообразий имеет ординальный тип . Этот результат известен как теорема Турстона — Йоргенсена. Дальнейшие работы по характеризации этого множества были выполнены Громовым. Узел восьмерки и (2, 3, 7)-претцельный узел — единственные два узла, дополнения которых, как известно, имеют более 6 исключительных операций; у них 10 и 7 соответственно. Камерон Гордон предположил, что 10 — наибольшее возможное количество исключительных операций для любого гиперболического дополнения узла. Это было доказано Марком Лакенби и Робом Мейерхоффом, которые показали, что число исключительных наклонов равно 10 для любого компактного ориентируемого 3-многообразия с границей в виде тора и конечным внутренним гиперболическим объемом. Их доказательство опирается на доказательство гипотезы геометризации, предложенной Григорием Перельманом, и на компьютерную помощь. В настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерки единственным, достигающим границы в 10. Одна из гипотез заключается в том, что граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6. Аголь показал, что существует лишь конечное число случаев, в которых число исключительных наклонов равно 9 или 10.