Кіріспе
1897 жылы шеңбердің квадратурасын заңмен анықтауға жасалған әрекет. Индиана пи заң жобасы – Индиана штатының Бас Ассамблеясының 1897 жылғы отырысындағы #246 заң жобасы, математикалық шындықты заң шығару арқылы орнатуға бағытталған ең әйгілі тыраштардың бірі. Атауына қарамастан, заң жобасының негізгі нәтижесі шеңбердің квадратурасын табу әдісі болып табылады, бірақ ол шеңбердің ұзындығының диаметріне қатынасын көрсететін математикалық тұрақтының қате мәндерін де қамтиды. Математикамен әуесқой ғалым ретінде айналысқан дәрігер жазған бұл заң жобасы, Пурдью университетінің профессоры К.А. Уолдоның араласуының арқасында заңға айналмады, ол заң жобасы дауысқа қойылған күні заң шығарушылар отырысында болған еді. Тек қана сызғыш пен циркульдің көмегімен шеңбердің квадратурасын табудың математикалық мүмкін еместігі ежелгі заманнан бері күдік тудырған, ал 15 жыл бұрын, 1882 жылы Фердинанд фон Линдеман бұл тұжырымды қатаң түрде дәлелдеген. Заң жобасында көрсетілгенге қарағанда, бұл тұрақтының жақсырақ жуықтамалары ежелгі заманнан бері белгілі.
The Indiana pi bill was bill #246 of the 1897 sitting of the Indiana General Assembly, one of the most notorious attempts to establish mathematical truth by legislative fiat. Despite its name, the main result claimed by the bill is a method to square the circle, although it does imply various incorrect values of the mathematical constant , the ratio of the circumference of a circle to its diameter. The bill, written by a physician who was an amateur mathematician, never became law due to the intervention of C. A. Waldo, a professor at Purdue University, who happened to be present in the legislature on the day it went up for a vote. The mathematical impossibility of squaring the circle using only straightedge and compass constructions, suspected since ancient times, had been rigorously proven 15 years previously, in 1882, by Ferdinand von Lindemann. Better approximations of than those implied by the bill have been known since ancient times.
Дөңгелектің ауданы
Гудвиннің басты мақсаты шеңбердегі ұзындықты өлшеу емес, шеңбермен бірдей ауданы бар квадратты табу еді. Ол Архимедтің шеңбердің ауданы үшін формуласын білген, ол диаметрді шеңбердің төрттен бір бөлігіне көбейтуді талап етеді, бұл шеңберді шаршылаудың ежелгі мәселесін шешу деп саналмайды. Себебі, мәселе тек компас пен түзу сызықты пайдалана отырып, аумақты құруда. Архимед айналасының ұзындығымен бірдей түзу сызықты салу әдісін ұсынбаған. Гудвин бұл орталық талапты білмеді; ол Архимед формуласының мәселесі оның сандық нәтижелерді дұрыс бермеуі деп сенді; ежелгі мәселенің шешімі оны "дұрыс" формуламен алмастыруы керек. Сондықтан, ол ұсынған заң жобасында, ешқандай дәлелсіз, оның әдісі:
Бұл қажетсіз күрделі болып көрінеді, өйткені "теңқабырғалы төртбұрыш" - бұл, анықтама бойынша, квадрат. Қарапайым тілмен айтқанда, шеңбердің ауданы дәл осындай периметрі бар квадраттың ауданымен бірдей деген мәлімдеме бар. Бұл талап Гудвин жауап беруге тырысатын басқа математикалық қайшылықтарға әкеледі. Мысалы, жоғарыдағы цитатадан кейін, заң жобасында былай делінген:
Жоғарыдағы модельдік шеңберде Архимед ауданы (Гудвиннің шеңбер мен диаметрдің мәндерін қабылдап) 80 болады. Керісінше, Гудвиннің ұсынған ережесі 64 ауданына әкеледі. 80 саны 64 санынан 80-нің бес бөлігімен артық. Гудвин шатасқан сияқты, , ол Гудвин ережесінен табылған аудан тек өте кішкентай бөлшектер үшін ғана жұмыс істейтін жуықтама. Керісінше, ол шеңбердің ауданы оның диаметріне қатысы бар екенін бірнеше рет жоққа шығарды. Ауданның салыстырмалы қатесі шамамен 21 пайызды құрайды, бұл алдыңғы бөлімдегі модельдік шеңбердегі жуықталған ұзындықтардан әлдеқайда ауыр. Гудвин өз ережесінің дұрыс болуына не себеп болғаны белгісіз. Жалпы, бірдей периметрі бар фигуралардың бірдей ауданы болмайды (изопериметрияны қараңыз). Бұл фактінің әдеттегі мысалы - ұзын, жіңішке пішінмен кішкентай, жабық аумақпен (кеңдігі азайғанда ауданы нөлге жақындаса) бірдей периметрі бар, бірақ шамамен бірдей биіктіктегі (ауданы кеңдігінің квадратына жақындаса) пішінмен салыстыру, бұл әрине әлдеқайда үлкен аудан.
The area found by Goodwin's rule is times the true area of the circle, which, in many accounts of the pi bill, is interpreted as a claim that However, there is no internal evidence in the bill that Goodwin intended to make such a claim. On the contrary, he repeatedly denies that the area of the circle has anything to do with its diameter. The relative area error of works out to about 21 percent, which is much more grave than the approximate lengths in the model circle of the previous section. It is unknown what made Goodwin believe that his rule could be correct. Generally, figures with identical perimeters do not have an identical area (see isoperimetry). The typical demonstration of this fact is to compare a long, thin shape with a small, enclosed area (the area approaching zero as the width decreases) to one with the same perimeter that is approximately as tall as it is wide (the area approaching the square of the width), obviously of a much greater area.