Введение

Попытка 1897 года законодательно определить метод квадратуры круга.

Законопроект о числе π в Индиане, известный как законопроект № 246, был представлен на рассмотрение Генеральной Ассамблеи штата Индиана в 1897 году и стал одной из самых известных попыток установить математическую истину посредством законодательного акта. Несмотря на название, основной результат, заявленный в законопроекте, – это метод квадратуры круга, хотя он также предполагает различные неверные значения математической константы π, то есть отношения длины окружности к диаметру круга. Законопроект, написанный врачом, увлекавшимся математикой, так и не был принят в закон благодаря вмешательству профессора университета Пердью К. А. Уолдо, который случайно присутствовал в законодательном собрании в день голосования. Математическая невозможность квадратуры круга исключительно с помощью циркуля и линейки была известна с древних времен, но строго доказана Фердинандом фон Линдеманном за 15 лет до этого, в 1882 году. Более точные приближения числа π, чем те, что подразумеваются в законопроекте, были известны еще с древности.

Площадь круга

Главной целью Гудвина было не измерение длин в круге, а поиск квадрата с той же площадью, что и круг. Он знал, что формула Архимеда для площади круга, требующая умножить диаметр на четверть окружности, не считается решением древней проблемы квадратуры круга. Это связано с тем, что задача заключается в построении площади исключительно с помощью циркуля и линейки. Архимед не предоставил метода построения прямой линии, длина которой была бы равна длине окружности. Гудвин не знал об этом ключевом требовании; он полагал, что проблема с формулой Архимеда заключалась в том, что она давала неверные числовые результаты; решение древней проблемы должно было заменить ее «правильной» формулой. В законопроекте, который он предложил, без каких-либо аргументов, был представлен его метод:

Это представляется излишне сложным, поскольку «равносторонний прямоугольник» по определению является квадратом. Проще говоря, утверждается, что площадь круга равна площади квадрата с тем же периметром. Это утверждение приводит к другим математическим противоречиям, на которые Гудвин пытается ответить. Например, сразу после вышеприведенной цитаты в законопроекте говорится:

В модельном круге, приведенном выше, площадь, рассчитанная по формуле Архимеда (при условии принятия значений Гудвина для окружности и диаметра), составила бы 80. В отличие от этого, предложенное Гудвином правило приводит к площади 64. Теперь 80 превышает 64 на одну пятую от 80. Похоже, Гудвин путает с , что является приближением, которое работает только для дробей, значительно меньших, чем . Площадь, найденная по правилу Гудвина, в разы больше истинной площади круга, что во многих отчетах о «законе о пи» интерпретируется как утверждение о том, что , однако в самом законопроекте нет никаких доказательств того, что Гудвин намеревался сделать такое утверждение. Напротив, он неоднократно отрицал, что площадь круга имеет какое-либо отношение к его диаметру. Относительная погрешность площади составляет около 21 процента, что намного серьезнее, чем приблизительные длины в модельном круге из предыдущего раздела. Неизвестно, что заставило Гудвина поверить в правильность его правила. Как правило, фигуры с одинаковым периметром не имеют одинаковой площади (см. изопериметрию). Типичным доказательством этого факта является сравнение длинной, узкой фигуры с небольшой замкнутой площадью (площадь, стремящаяся к нулю при уменьшении ширины) с фигурой с тем же периметром, которая примерно равна по высоте и ширине (площадь, стремящаяся к квадрату ширины), что, очевидно, имеет гораздо большую площадь.