Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Гаусс-Маннин байланысы — алгебралық сорттар отбасының S базалық кеңістігіндегі белгілі бір векторлық бундельдегі байланыс. Векторлық бундельдің талшықтары — отбасының талшықтарының де Рам когомологиялық топтары. Ол S қисықтары үшін және жоғары өлшемдерде енгізілді. Бундельдің жазық қималары дифференциалдық теңдеулермен сипатталады; олардың ең белгілісі — Пикард-Фукс теңдеуі, бұл сорттар отбасы эллиптік қисықтар отбасы ретінде қарастырылғанда туындайды. Интуитивті түрде, отбасы жергілікті түрде тривиалды болғанда, когомологиялық кластар отбасының бір талшығынан жақын орналасқан талшыққа көшірілуі мүмкін, бұл "жазық қима" ұғымын таза топологиялық тұрғыдан қамтамасыз етеді. Байланыстың болуы жазық қималарынан шығарылады.
In mathematics, the Gauss–Manin connection is a connection on a certain vector bundle over a base space S of a family of algebraic varieties The fibers of the vector bundle are the de Rham cohomology groups of the fibers of the family. It was introduced by for curves S and by in higher dimensions. Flat sections of the bundle are described by differential equations; the best known of these is the Picard–Fuchs equation, which arises when the family of varieties is taken to be the family of elliptic curves. In intuitive terms, when the family is locally trivial, cohomology classes can be moved from one fiber in the family to nearby fibers, providing the 'flat section' concept in purely topological terms. The existence of the connection is to be inferred from the flat sections.
Интуиция
0-характеристика бойынша схемалардың тегіс морфизмін қарастырайық. Егер бұл кеңістіктерді күрделі аналитикалық кеңістіктер деп қарастырсақ, онда Эресманның фибрация теоремасы әрбір талшықтың тегіс көпқырлы екенін және әрбір талшық диффеоморфты екенін көрсетеді. Бұл де Рам кохомология топтарының барлығы изоморфты екенін білдіреді. Осы байқауды пайдаланып, базалық кеңістіктен векторлық өрістерді қолданып кохомология кластарын дифференциалдауға тырысқанда не болатынын сұрай аламыз. Егер біз inclusion картасы болатын кохомология класын қарастырсақ, онда белгілі бір уақыттан кейін олардың арасында Пикард–Фукс теңдеуі деп аталатын қатынас пайда болады. Гаусс–Маннин байланысы – бұл ақпаратты жазық векторлық бундельдегі байланысқа кодтауға мүмкіндік беретін құрал.
Consider a smooth morphism of schemes over characteristic 0. If we consider these spaces as complex analytic spaces, then the Ehresmann fibration theorem tells us that each fiber is a smooth manifold and each fiber is diffeomorphic. This tells us that the de Rham cohomology groups are all isomorphic. We can use this observation to ask what happens when we try to differentiate cohomology classes using vector fields from the base space
Consider a cohomology class such that where is the inclusion map. Then, if we consider the classes
eventually there will be a relation between them, called the Picard–Fuchs equation. The Gauss–Manin connection is a tool which encodes this information into a connection on the flat vector bundle on constructed from the .
Мысал
Әдетте келтірілген мысал — Пикард-Фукс теңдеуінің Дворк құрылымы. Келтірілген эллиптік қисық болсын, мұнда — қисықты сипаттайтын еркін параметр; ол күрделі проекциялық түзудің элементі (n дәрежесіндегі кеңістіктегі гипербеттердің отбасы, ұқсас анықтамамен, соңғы жылдары модульділік теоремасы және оның жалғасымен байланысты белсенді түрде зерттелді). Осылайша, шоғырдың негізгі кеңістігі проекциялық түзу болып алынады. Негізгі кеңістіктегі белгілі бір үшін, байланысты де Рам когомология тобының элементін қарастырайық.
A commonly cited example is the Dwork construction of the Picard–Fuchs equation. Let
be the elliptic curve
Here, is a free parameter describing the curve; it is an element of the complex projective line (the family of hypersurfaces in dimensions of degree n, defined analogously, has been intensively studied in recent years, in connection with the modularity theorem and its extensions). Thus, the base space of the bundle is taken to be the projective line. For a fixed in the base space, consider an element of the associated de Rham cohomology group
Мұндай әрбір элемент эллиптік қисықтың периодына сәйкес келеді. Когомология екі өлшемді. Гаусс-Маннин байланысы екінші ретті дифференциалдық теңдеуге сәйкес келеді.
Each such element corresponds to a period of the elliptic curve. The cohomology is two dimensional. The Gauss–Manin connection corresponds to the second order differential equation
D-модульді түсіндіру
D модульдері теориясының көбірек абстрактілі жағдайында, мұндай теңдеулердің болуы тікелей бейнелеудің жалпы қарастырылуына кіріктірілген.
In the more abstract setting of D module theory, the existence of such equations is subsumed in a general discussion of the direct image.
"Геометриядан туындайтын" теңдеулер
Гаусс-Маннин байланыстарының толық класы "геометриядан туындайтын" дифференциалдық теңдеулер ұғымын қалыптастыруға бағытталған. Гротендиктің p қисықтығы жөніндегі болжамымен байланысты, Николас Кац алгебралық сан коэффициенттері бар Гаусс-Маннин байланыстарының класы болжамды қанағаттандыратынын дәлелдеді. Бұл нәтиже трансценденттік сандар теориясының Сигельдің G функциясы ұғымымен, мероморфты функциялардың шешімдері арқылы тікелей байланысты. Бомбиери-Дворк болжамы, сондай-ақ Ив Андреге жатқызылатын және бірнеше нұсқада келтірілетін бұл болжам, кері бағытты постулаттайды: шешімдер G функциялары түрінде немесе дерлік барлық p үшін p қисықтығы p модулі бойынша нильпотент болса, онда теңдеу "геометриядан туындайды".
The whole class of Gauss–Manin connections has been used to try to formulate the concept of differential equations that "arise from geometry". In connection with the Grothendieck p curvature conjecture, Nicholas Katz proved that the class of Gauss–Manin connections with algebraic number coefficients satisfies the conjecture. This result is directly connected with the Siegel G function concept of transcendental number theory, for meromorphic function solutions. The Bombieri–Dwork conjecture, also attributed to Yves André, which is given in more than one version, postulates a converse direction: solutions as G functions, or p curvature nilpotent mod p for almost all primes p, means an equation "arises from geometry".