Введение

В математике соединение Гаусса — Маннина — это соединение на некотором векторном расслоении над базовым пространством S семейства алгебраических многообразий. Волокна векторного расслоения — это группы когомологий де Рама волокон семейства. Оно было введено для кривых S и в более высоких размерностях. Плоские сечения расслоения описываются дифференциальными уравнениями, наиболее известным из которых является уравнение Пикара — Фукса, возникающее, когда семейство многообразий рассматривается как семейство эллиптических кривых. Интуитивно, когда семейство локально тривиально, классы когомологий можно переносить из одного волокна семейства в соседние волокна, что даёт понятие «плоского сечения» в чисто топологических терминах. О существовании соединения следует судить по плоским сечениям.

Интуиция

Рассмотрим гладкий морфизм схем над характеристикой 0. Если рассматривать эти пространства как комплексно-аналитические пространства, то теорема Эресмана о фибрациях говорит нам, что каждое волокно является гладким многообразием, и все волокна диффеоморфны друг другу. Это означает, что группы когомологий де Рама изоморфны. Мы можем использовать это наблюдение, чтобы исследовать, что происходит при попытке дифференцировать классы когомологий с помощью векторных полей из базового пространства. Рассмотрим класс когомологии, такой что является картой включения. Тогда, рассматривая классы

в конечном итоге обнаружится связь между ними, называемая уравнением Пикара — Фукса. Соединение Гаусса — Маннина — это инструмент, который кодирует эту информацию в соединение на плоском векторном расслоении над , построенном из .

Пример

Обычно приводится пример конструкции Дворка уравнения Пикара — Фукса. Пусть будет эллиптической кривой. Здесь, является свободным параметром, описывающим кривую; это элемент комплексной проективной прямой (семейство гиперповерхностей в измерениях степени n, определенное аналогичным образом, интенсивно изучалось в последние годы в связи с теоремой о модулярности и ее обобщениями). Таким образом, базовым пространством расслоения принимается проективная прямая. Для фиксированного в базовом пространстве рассмотрим элемент ассоциированной группы когомологий де Рама. Каждый такой элемент соответствует периоду эллиптической кривой. Когомология двумерна. Связь Гаусса — Маннина соответствует дифференциальному уравнению второго порядка.

Пояснение модуля D

В более абстрактном контексте теории D-модулей существование таких уравнений охватывается общим рассмотрением прямого образа.

Уравнения, "появляющиеся из геометрии"

Весь класс связей Гаусса-Манина использовался в попытках сформулировать понятие дифференциальных уравнений, которые "возникают из геометрии". В связи с гипотезой p-кривизны Гротендика, Николас Кац доказал, что класс связей Гаусса-Манина с алгебраическими числовыми коэффициентами удовлетворяет этой гипотезе. Этот результат напрямую связан с понятием G-функции Зигеля в трансцендентной теории чисел, применительно к мероморфным решениям. Гипотеза Бомьери — Дворка, также приписываемая Иву Андре и имеющая несколько формулировок, постулирует обратное утверждение: решения, представленные в виде G-функций, или p-кривизна, нильпотентная по модулю p для почти всех простых чисел p, означают, что уравнение "возникает из геометрии".