Кіріспе

Интегралды түрлендіру ықтималдықтар теориясында, физикада және инженерияда пайдалы. Математикада Лаплас түрлендірмесі, оны ашқан Пьер Симон Лапластың (/l//ə/'/p//l//ɑ://s/) есімімен аталады, нақты айнымалының функциясын (әдетте t, уақыт доменінде) кешенді айнымалының функциясына (кешенді мәнді жиілік доменінде, s домені немесе s жазықтығында) түрлендіретін интегралды түрлендіру. Бұл түрлендіру уақыт доменіндегі дифференциалдау мен интегралдауды Лаплас доменіндегі әлдеқайда оңай көбейту мен бөлуге айналдыруға мүмкіндік береді (бұл логарифмдердің көбейту мен бөлуді қосу мен алуға оңайлатуына ұқсас). Осының арқасында түрлендіру ғылым мен инженерияда көптеген қолданыстарға ие, әсіресе сызықты дифференциалдық теңдеулерді және динамикалық жүйелерді шешу құралы ретінде, қарапайым дифференциалдық теңдеулерді және интегралдық теңдеулерді алгебралық полиномдық теңдеулерге келтіру арқылы, сондай-ақ конволюцияны көбейтуге айналдыру арқылы. Шешімі табылғаннан кейін, кері Лаплас түрлендірмесі бастапқы доменге қайтарады. Лаплас түрлендірмесінің анықтамасы (қолайлы f функциялары үшін) интеграл арқылы беріледі:

Кері Лапластың трансформациясы

Екі интегралданатын функция Лаплас трансформациясымен бірдей болуы үшін, олар Лебег өлшемі нөлге тең жиынтықта ғана ерекшеленуі керек. Бұл, трансформацияның мәндік аймағында кері трансформацияның бар екенін білдіреді. Шындығында, интегралданатын функциялардан басқа, Лаплас трансформациясы көптеген басқа функциялық кеңістіктерде де бір функциялық кеңістіктен екіншісіне бір-бірге сәйкес келеді, бірақ көбінесе мәндік аймақты оңай сипаттау мүмкін емес. Бұл жағдайға сәйкес келетін типтік функциялық кеңістіктерге шектеулі үздіксіз функциялардың кеңістіктері, [[Lp кеңістігі немесе жалпы алғанда, баяу өзгеретін таралымдар кіреді. Лаплас трансформациясы баяу өзгеретін таралымдардың сәйкес кеңістіктері үшін де анықталған және инъективті болып табылады. Мұндай жағдайларда Лаплас трансформациясының кескіні, конвергенция аймағындағы аналитикалық функциялар кеңістігінде орналасады. Кері Лаплас трансформациясы келесі кешенді интеграл арқылы беріледі, ол әртүрлі атаулармен белгілі (Бромвич интегралы, Фурье-Меллин интегралы және Меллинның кері формуласы):

мұнда γ – нақты сан, интеграция контуры F(s) конвергенция аймағында болатындай. Көптеген жағдайларда контурды жабуға болады, бұл қалдық теоремасын қолдануға мүмкіндік береді. Кері Лаплас трансформациясының тағы бір формуласын Посттың инверсия формуласы береді. Бұл жағдайдағы лимит әлсіз жұлдыз топологиясында қарастырылады. Практикада Лаплас трансформациясын кестеден алынған функциялардың белгілі трансформацияларына бөліп, керісін тексеру арқылы табу әдетте ыңғайлы.

Алгебралық құрылым

Лаплас түрлендірмесін оң жарты сызықтағы функциялардың конволюция сақинасына бөлшектер өрісі құрылымын қолдану арқылы таза алгебралық түрде анықтауға болады. Нәтижедегі абстракт операторлар кеңістігі Лаплас кеңістігімен толыққандай сәйкес келеді, бірақ осы құрылымда тікелей және кері түрлендірулерді ешқашан нақты анықтаудың қажеті болмайды (конвергенцияны дәлелдеумен байланысты қиындықтарды болдырмау үшін).

Негізгі қатынастар

Лапластың қарапайым түрлендіруін екі жақты түрлендірудің ерекше жағдайы ретінде жазуға болады, және екі жақты түрлендіруді екі бір жақты түрлендірудің қосындысы ретінде жазуға болады, сондықтан Лапластың, Фурье, Меллин және Z түрлендірулерінің теориясы негізінен бір ғылым саласы болып табылады. Дегенмен, осы төрт маңызды интегралды түрлендірудің әрқайсысының өзіндік көзқарасы мен ерекше мәселелері бар.

Мысалдар мен қолдану

Лапластың түрлендіруі инженерлік және физикалық салаларда жиі қолданылады; сызықтық уақыт инвариантты жүйенің шығысын оның бірлік импульстік жауабын кіріс сигналымен қырыстыру арқылы есептеуге болады. Бұл есептеуді Лаплас кеңістігінде орындау қырыстыруды көбейтуге айналдырады; соңғысын алгебралық түріне байланысты шешу оңайырақ. Толығырақ ақпарат алу үшін бақылау теориясын қараңыз. Лапластың түрлендіруі функциялардың кең класында кері түрлендіріледі. Жүйеге берілетін немесе одан алынатын қарапайым математикалық немесе функционалдық сипаттаманы ескере отырып, Лапластың түрлендіруі жүйенің мінез-құлқын талдау процесін немесе белгілі бір талаптарға сәйкес жаңа жүйені жасауды жеңілдететін балама функционалдық сипаттаманы ұсынады. Лапластың түрлендіруін дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін де қолдануға болады және механикалық және электр инженерлік салаларында кеңінен қолданылады. Лапластың түрлендіруі сызықтық дифференциалдық теңдеуді алгебралық теңдеуге келтіреді, оны алгебраның қағидаларын қолданып шешуге болады. Алғашқы дифференциалдық теңдеуді кері Лаплас түрлендіруін қолдану арқылы шешуге болады. Англиялық электр инженері Оливер Хевисайд осыған ұқсас әдісті алғаш ұсынды, бірақ Лапластың түрлендіруін пайдаланбады; ал оның нәтижесінде пайда болған операциялық есептеу Хевисайд есептеуі деп аталады.

Астрономиялық спектрден алынған кеңістіктік (уақыт емес) құрылым

Лаплас трансформациясының және оның кері трансформациясының кең және жалпы қолданылуы астрономиядағы мысал арқылы көрсетіледі, бұл радиожиіліктік жылу сәулеленуінің алысқа орналасқан, нүкте ретінде ғана көрінетін астрономиялық көзінің кеңістіктегі материя таралуы туралы ақпарат береді. Бұл, уақыт доменін спектрмен (жиілік доменімен) байланыстырудың орнына жасалады. Егер объектінің сфералық пішіні және тұрақты температурасы сияқты белгілі бір қасиеттері болған жағдайда, объектінің спектрінде кері Лаплас трансформациясын жүргізуге негізделген есептеулер, спектрге сәйкес келетін материя таралуының (орталықтан қашықтыққа байланысты тығыздық) жалғыз ғана мүмкін моделін бере алады. Объектінің құрылымы туралы тәуелсіз мәліметтер болған кезде, кері Лаплас трансформациясы әдісі жақсы сәйкестік көрсетеді.