Введение
Интегральное преобразование, полезное в теории вероятностей, физике и инженерии.
В математике преобразование Лапласа, названное в честь его первооткрывателя Пьера Симона Лапласа (/l//ə/'/p//l//ɑ://s/), является интегральным преобразованием, которое преобразует функцию действительной переменной (обычно *t*, в области времени) в функцию комплексной переменной *s* (в области комплексных частот, также известной как s-область или s-плоскость). Преобразование полезно для преобразования дифференцирования и интегрирования в области времени в гораздо более простое умножение и деление в s-области (аналогично тому, как логарифмы полезны для упрощения умножения и деления до сложения и вычитания). Это дает преобразованию множество применений в науке и технике, главным образом как инструмент для решения линейных дифференциальных уравнений и динамических систем путем упрощения обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений до алгебраических полиномиальных уравнений, а также путем упрощения свертки до умножения. После решения обратное преобразование Лапласа возвращает результат в исходную область. Преобразование Лапласа определяется (для подходящих функций f) интегралом:
Обратная трансформация Лапласа
Две интегрируемые функции имеют одинаковое преобразование Лапласа только в том случае, если они отличаются на множестве меры Лебега, равной нулю. Это означает, что на области значений преобразования существует обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа является взаимно однозначным отображением из одного функционального пространства в другое во многих других функциональных пространствах, хотя обычно не существует простого описания области значений. Типичные функциональные пространства, для которых это верно, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство [[Lp-пространств, или, в более общем случае, пространство обобщенных функций (темперированных распределений). Преобразование Лапласа также определено и инъективно для подходящих пространств темперированных распределений. В этих случаях образ преобразования Лапласа лежит в пространстве аналитических функций в области сходимости. Обратное преобразование Лапласа задается следующим комплексным интегралом, известным под различными названиями (интеграл Бромвича, интеграл Фурье — Меллина и обратная формула Меллина):
где γ — действительное число, выбранное таким образом, чтобы контур интегрирования находился в области сходимости F(s). В большинстве случаев контур можно замкнуть, что позволяет использовать теорему о вычетах. Альтернативная формула для обратного преобразования Лапласа приведена формулой обращения Поста. Предел здесь понимается в слабой * топологии. На практике часто удобнее разложить преобразование Лапласа на известные преобразования функций, взятых из таблицы, и построить обратное преобразование путем непосредственного сравнения.
Алгебраическая конструкция
Трансформация Лапласа может быть альтернативно определена чисто алгебраическим способом, применяя построение поля частных к кольцу свертки функций на положительной полупрямой. Полученное пространство абстрактных операторов точно эквивалентно пространству Лапласа, но в этой конструкции прямое и обратное преобразования никогда не требуют явного определения (что позволяет избежать связанных с этим сложностей при доказательстве сходимости).
Основные отношения
Поскольку обычное преобразование Лапласа можно представить как частный случай двустороннего преобразования, а двустороннее преобразование – как сумму двух односторонних преобразований, теория преобразований Лапласа, Фурье, Меллина и Z по сути является единой областью знаний. Однако, каждая из этих четырех основных интегральных трансформаций связана с собственной точкой зрения и специфическими задачами.
Примеры и применения
Трансформация Лапласа часто используется в инженерном деле и физике; выход линейной стационарной системы можно вычислить, свертывая ее импульсную характеристику с входным сигналом. Выполнение этого вычисления в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение, которое легче решить благодаря своей алгебраической форме. Дополнительную информацию можно найти в теории управления. Трансформация Лапласа обратима для широкого класса функций. При заданном простом математическом или функциональном описании входа или выхода системы, трансформация Лапласа предоставляет альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает анализ поведения системы или синтез новой системы на основе заданных требований. Трансформация Лапласа также может использоваться для решения дифференциальных уравнений и широко применяется в машиностроении и электротехнике. Трансформация Лапласа сводит линейное дифференциальное уравнение к алгебраическому, которое затем можно решить, используя формальные правила алгебры. Исходное дифференциальное уравнение можно решить, применив обратную трансформацию Лапласа. Английский инженер-электрик Оливер Хевисайд первым предложил схожую методику, хотя и без использования трансформации Лапласа; а полученный операторный метод известен как исчисление Хевисайда.
Пространственная (не временная) структура из астрономического спектра
Широкая и общая применимость преобразования Лапласа и его обратного иллюстрируется применением в астрономии, которое позволяет получить некоторую информацию о пространственном распределении вещества астрономического источника радиочастотного теплового излучения, находящегося на слишком большом расстоянии для разрешения как объекта, отличного от точечного, исходя из его спектра плотности потока, а не установления связи между временной областью и спектром (частотной областью). При допущении определенных свойств объекта, например, сферической формы и постоянной температуры, вычисления, основанные на выполнении обратного преобразования Лапласа по спектру объекта, могут дать единственную возможную модель распределения вещества внутри него (плотность как функция расстояния от центра), согласующуюся со спектром. Когда имеется независимая информация о структуре объекта, метод обратного преобразования Лапласа демонстрирует хорошее соответствие результатам.