Сфераны жазықтыққа бейнелеу: Стереографиялық проекция

Кіріспе

Сфераны жазықтыққа бейнелейтін нақты карта проекциясы – карта проекциясы. Математикада стереографиялық проекция – сфераның белгілі бір нүктесі (полюс немесе проекция орталығы) арқылы, осы нүктеден өтетін диаметрге перпендикуляр жазықтыққа (проекция жазықтығы) перспективалық проекциясы. Бұл проекция орталығынан басқа, бүкіл сферадан бүкіл жазықтыққа тегіс, биективті функция. Ол сферадағы шеңберлерді жазықтықтағы шеңберлерге немесе түзулерге бейнелейді және конформды, яғни қисықтардың қиылысу бұрыштарын сақтайды, соның салдарынан пішіндерді жергілікті түрде шамамен сақтайды. Ол изометриялық (қашықтықты сақтау) немесе эквиареалды (ауданды сақтау) емес. Стереографиялық проекция шарды жазықтық арқылы бейнелеуге мүмкіндік береді. Жазықтықтан сфераға кері стереографиялық проекция арқылы туындаған метрика, жазықтықтағы екі нүкте арасындағы геодезиялық қашықтықты олар көрсететін сфералық нүктелер арасындағы сфералық қашықтыққа тең деп анықтайды. Стереографиялық жазықтықтағы екі өлшемді координаттар жүйесі – шарлық полярлық координаттар немесе үш өлшемді картезиандық координаттардың орнына шарлық аналитикалық геометрияның баламалы түрі. Бұл гиперболалық жазықтықтың Пуанкаре дискісінің шарлық аналогы. Интуитивті түрде стереографиялық проекция – шарды жазықтық ретінде көрудің бір жолы, кейбір қажетсіз келісімдермен. Сфера мен жазықтық математиканың көптеген салаларында және оның қолданыстарында кездесетіндіктен, стереографиялық проекция да солай; ол күрделі талдау, картография, геология және фотография сияқты алуан түрлі салаларда қолданылады. Кейде стереографиялық есептеулер арнайы түрдегі график қағазын пайдалана отырып, графикалық түрде жүргізіледі, ол стереографиялық тор деп аталады немесе Вульф торы.

Тарих

Стереографиялық проекцияның шығу тегі белгісіз, бірақ оны ежелгі грек астрономдары ашқан және жұлдыздар мен планеталардың қозғалысын жазықтық геометриясын қолдану арқылы талдау үшін аспан сферасын жазықтыққа проекциялау үшін қолданған деп есептеледі. Оның ең ерте сипаттамасы Птолемейдің Планисферасында (б.з. 2-ғасыры) кездеседі, бірақ оны Синезий (шамамен 400 ж.) Гиппархқа (б.з. 2-ғасыры) дәйекті емес атрибуциялады, ал Аполлонийдің Коникасында (б.з. 200 ж.) стереографиялық проекция шеңберлерді шеңберлерге айналдыратынын дәлелдеу үшін маңызды теорема бар. Гиппарх, Аполлоний, Архимед және тіпті Эвдокс (б.з. 4-ғасыры) кейде стереографиялық проекцияны ойлап табумен немесе оны білумен байланысты болды, бірақ кейбір сарапшылар осы атрибуцияларды негізсіз деп санайды. Птолемей стереографиялық проекцияны "гороскоптық құралда" қолдануды айтады, мүмкін Витрувий сипаттаған Orologio anaforico (б.з. 1-ғасыры). Александриялық Теоның (4-ғасыр) кезінде планисфера диоптрамен біріктіріліп, планисфералық астролябиді ("жұлдызды өлшегіш") құрады, бұл қабілетті портативті құрылғы, оны жұлдыздардың орналасуын өлшеу және астрономиялық есептеулердің кең ауқымын орындау үшін пайдалануға болады. Астролябиді Византия астрономдары үздіксіз қолданды, ал ортағасырлық ислам астрономдары оны одан әрі дамытты. Бұл 11-12 ғасырларда Батыс Еуропаға араб мәтіндері латын тіліне аударылған кезде тарады. 16-17 ғасырларда стереографиялық проекцияның экваторлық аспектісі Шығыс және Батыс жарты шарлардың карталары үшін жиі қолданылды. 1507 жылы Гуальтериус Люд жасаған карта стереографиялық проекцияда болған деп есептеледі, сондай-ақ кейінірек Жан Розе (1542), Румольд Меркатор (1595) және тағы да көптеген карталар да осы проекцияда жасалды. Жұлдыздық карталарда тіпті осы экваторлық аспектіні Птолемей сияқты ежелгі астрономдар да пайдаланған. Франсуа д'Агилон стереографиялық проекцияға қазіргі атауын 1613 жылы жариялаған Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Оптиканың алты кітабы, философтар мен математиктер үшін пайдалы) еңбегінде берді. 16 ғасырдың соңында Томас Харриот стереографиялық проекцияның конформды екенін дәлелдеді; алайда, бұл дәлел жарияланбады және үш ғасырдан астам уақыт бойы оның қағаздарының арасында, қорапта жатыр. 1695 жылы Эдмонд Галлей, жұлдыздық карталарға деген қызығушылығынан туындаған, оны алғаш рет дәлелдеді. Ол өзінің досы Исаак Ньютонның ойлап тапқан, жаңадан пайда болған математикалық есептеу құралдарын қолданды.

The origin of the stereographic projection is not known, but it is believed to have been discovered by Ancient Greek astronomers and used for projecting the celestial sphere to the plane so that the motions of stars and planets could be analyzed using plane geometry. Its earliest extant description is found in Ptolemy's Planisphere (2nd century AD), but it was ambiguously attributed to Hipparchus (2nd century BC) by Synesius (c. 400 AD), and Apollonius's Conics (c. 200 BC) contains a theorem which is crucial in proving the property that the stereographic projection maps circles to circles. Hipparchus, Apollonius, Archimedes, and even Eudoxus (4th century BC) have sometimes been speculatively credited with inventing or knowing of the stereographic projection, but some experts consider these attributions unjustified. Ptolemy refers to the use of the stereographic projection in a "horoscopic instrument", perhaps the Orologio anaforico described by Vitruvius (1st century BC). By the time of Theon of Alexandria (4th century), the planisphere had been combined with a dioptra to form the planispheric astrolabe ("star taker"), a capable portable device which could be used for measuring star positions and performing a wide variety of astronomical calculations. The astrolabe was in continuous use by Byzantine astronomers, and was significantly further developed by medieval Islamic astronomers. It was transmitted to Western Europe during the 11th–12th century, with Arabic texts translated into Latin. In the 16th and 17th century, the equatorial aspect of the stereographic projection was commonly used for maps of the Eastern and Western Hemispheres. It is believed that already the map created in 1507 by Gualterius Lud was in stereographic projection, as were later the maps of Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595), and many others. In star charts, even this equatorial aspect had been utilised already by the ancient astronomers like Ptolemy. François d'Aguilon gave the stereographic projection its current name in his 1613 work Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Six Books of Optics, useful for philosophers and mathematicians alike). In the late 16th century, Thomas Harriot proved that the stereographic projection is conformal; however, this proof was never published and sat among his papers in a box for more than three centuries. In 1695, Edmond Halley, motivated by his interest in star charts, was the first to publish a proof. He used the recently established tools of calculus, invented by his friend Isaac Newton.

Вулф торлары

Стереографиялық проекция графиктерін компьютер жоғарыда келтірілген формулаларды қолдана отырып салуға болады. Дегенмен, қолмен салу үшін бұл формулалар тым қиын. Оның орнына, арнайы дайындалған қағазды пайдалану жиі кездеседі. Бұл арнайы қағаз орыс минералогі Джордж (Юрий Викторович) Вульфтың құрметіне стереожелі немесе Вульф желісі деп аталады. Мұнда көрсетілген Вульф желісі – экватордағы нүктеге (мысалы, планетаның шығыс немесе батыс жарты шарларына) ортақталған жарты шардың параллельдер мен меридиандар торының стереографиялық проекциясы. Суретте стереографиялық проекцияның ауданды бұрмалау қасиетін желінің ортасына жақын тор секторын, одан алыс сол немесе оң жақтағы секторымен салыстыру арқылы көруге болады. Сферадағы екі сектордың ауданы тең. Дискідегі соңғысының ауданы бұрынғысынан шамамен төрт есеге үлкен. Егер торды ұсақтандырса, бұл қатынас дәл 4-ке жақындайды. Вульф желісінде параллельдер мен меридиандардың бейнелері тік бұрышпен қиылысады. Бұл ортогоналдық қасиет стереографиялық проекцияның бұрыштарды сақтау қасиетінің салдары. (Дегенмен, бұрыштарды сақтау қасиеті осы қасиеттен күштірек. Параллельдер мен меридиандардың ортогоналдығын сақтайтын барлық проекциялар бұрыштарды сақтамайды.) Вульф желісін қолдану мысалы ретінде, оның екі данасын жұқа қағазға салыңыз, бірін бірінің үстіне қойып, ортасында бекітіңіз. P нүктесі – төменгі жарты шардың координаталары (140°, 60°) және декарт координаталары (0.321, 0.557, -0.766) болатын нүкте. Бұл нүкте оң x осінен сағат тіліне қарсы 60° (немесе оң y осінен сағат тіліне қарсы 30°) және көлденең жазықтықтан 50° төмен орналасқан түзу бойында жатыр. Бұл бұрыштар белгілі болғаннан кейін P нүктесін салу үшін төрт қадам қажет: мына суреттерде 10° қадаммен белгіленген тор сызықтарын пайдаланып, тордың шетінде (1, 0) нүктесінен сағат тіліне қарсы 60° (немесе (0, 1) нүктесінен сағат тіліне қарсы 30°) жердегі нүктені белгілеңіз. Жоғарғы торды төменгі тордың (1, 0) нүктесімен сәйкес келуі үшін айналдырыңыз. Төменгі тордың тор сызықтарын пайдаланып, сол нүктеден ортаға қарай 50° жердегі нүктені белгілеңіз. Жоғарғы торды бұрынғы бағытына қарама-қарсы айналдырып, төменгі тормен сәйкестендіріңіз. 3-қадамда белгіленген нүкте – іздеген проекциямыз. 60° және 50° сияқты дөңгелек емес бұрыштары бар басқа нүктелерді салу үшін ең жақын тор сызықтары арасында визуалды интерполяция жасау қажет. 10°-дан кіші аралықтары бар тор пайдалы. 2° аралықтары жиі қолданылады. Стереографиялық проекциядағы екі нүкте арасындағы орталық бұрышты анықтау үшін проекцияны Вульф желісіне жайып, екі нүкте меридианға немесе оған жақын орналасқанша ортасынан айналдырыңыз. Содан кейін сол меридиан бойындағы тор сызықтарын санап, олардың арасындағы бұрышты өлшеңіз.

Stereographic projection plots can be carried out by a computer using the explicit formulas given above. However, for graphing by hand these formulas are unwieldy. Instead, it is common to use graph paper designed specifically for the task. This special graph paper is called a stereonet or Wulff net, after the Russian mineralogist George (Yuri Viktorovich) Wulff. The Wulff net shown here is the stereographic projection of the grid of parallels and meridians of a hemisphere centred at a point on the equator (such as the Eastern or Western hemisphere of a planet). In the figure, the area distorting property of the stereographic projection can be seen by comparing a grid sector near the center of the net with one at the far right or left. The two sectors have equal areas on the sphere. On the disk, the latter has nearly four times the area of the former. If the grid is made finer, this ratio approaches exactly 4. On the Wulff net, the images of the parallels and meridians intersect at right angles. This orthogonality property is a consequence of the angle preserving property of the stereographic projection. (However, the angle preserving property is stronger than this property. Not all projections that preserve the orthogonality of parallels and meridians are angle preserving.) For an example of the use of the Wulff net, imagine two copies of it on thin paper, one atop the other, aligned and tacked at their mutual center. Let P be the point on the lower unit hemisphere whose spherical coordinates are (140°, 60°) and whose Cartesian coordinates are (0.321, 0.557, −0.766). This point lies on a line oriented 60° counterclockwise from the positive x axis (or 30° clockwise from the positive y axis) and 50° below the horizontal plane Once these angles are known, there are four steps to plotting P:
Using the grid lines, which are spaced 10° apart in the figures here, mark the point on the edge of the net that is 60° counterclockwise from the point (1, 0) (or 30° clockwise from the point (0, 1)). Rotate the top net until this point is aligned with (1, 0) on the bottom net. Using the grid lines on the bottom net, mark the point that is 50° toward the center from that point. Rotate the top net oppositely to how it was oriented before, to bring it back into alignment with the bottom net. The point marked in step 3 is then the projection that we wanted. To plot other points, whose angles are not such round numbers as 60° and 50°, one must visually interpolate between the nearest grid lines. It is helpful to have a net with finer spacing than 10°. Spacings of 2° are common. To find the central angle between two points on the sphere based on their stereographic plot, overlay the plot on a Wulff net and rotate the plot about the center until the two points lie on or near a meridian. Then measure the angle between them by counting grid lines along that meridian.

Сызықтар мен жазықтықты визуализациялау

Үш өлшемді кеңістіктегі бастапқы нүкте арқылы өтетін барлық түзулер жиынтығы нақты проективті жазықтық деп аталатын кеңістік құрайды. Бұл жазықтықты елестету қиын, себебі оны үш өлшемді кеңістікке енгізу мүмкін емес. Дегенмен, оны келесідей диск ретінде елестетуге болады. Кез келген түзу бастапқы нүкте арқылы өтетін болса, оңтүстік жарты шар z ≤ 0 нүктесімен қиылысады, содан кейін оны XY жазықтығындағы дисктегі нүктеге стереографиялық проекция арқылы бейнелеуге болады. Бастапқы нүкте арқылы өтетін көлденең түзулер оңтүстік жарты шарды экватор бойындағы екі антиподальді нүктеде қиып өтеді, олар диск шекарасына проекцияланады. Екі проекцияланған нүктенің кез келгенін диск бөлігі деп қарастыруға болады; экватордағы антиподальді нүктелер 3 кеңістіктегі бір түзуді және проекцияланған диск шекарасындағы бір нүктені көрсетеді (квотиент топологиясын қараңыз). Осылайша, бастапқы нүкте арқылы өтетін кез келген түзулер жиынтығы проекцияланған дисктегі нүктелер жиынтығы ретінде бейнелене алады. Бірақ шекаралық нүктелердің мінез-құлқы қалыпты 2 өлшемді диск шекаралық нүктелерінен өзгеше, себебі олардың кез келгені бір мезгілде дисктегі қарама-қарсы жақтардағы ішкі нүктелерге жақын болады (әдеттегідей, бастапқы нүкте арқылы өтетін екі көлденең түзу дисктегі қарама-қарсы жақтардағы нүктелерге проекциялана алады). Сонымен қатар, бастапқы нүкте арқылы өтетін әрбір жазықтық бірлік сфераны үлкен шеңбермен қиып өтеді, бұл жазықтықтың іздері деп аталады. Бұл шеңбер стереографиялық проекцияда шеңберге айналады. Проекция арқылы жазықтықтарды дисктегі дөңгелек доғалар ретінде көруге болады. Компьютерлер пайда болғанға дейін үлкен шеңберлердегі стереографиялық проекциялар көбінесе сәулелі циркульді пайдалануды қажет ететін үлкен радиусты доғаларды салуды қамтитын. Компьютерлер бұл міндетті әлдеқайда жеңілдетеді. Әр жазықтыққа сәйкес, бастапқы нүкте арқылы өтетін және жазықтыққа перпендикуляр болатын жазықтықтың полюсі деп аталатын бірегей түзу болады. Бұл түзуді бастапқы нүкте арқылы өтетін кез келген түзу сияқты дисктегі нүкте ретінде салуға болады. Осылайша, стереографиялық проекция жазықтықтарды дисктегі нүктелер ретінде бейнелеуге мүмкіндік береді. Көп жазықтықты бейнелеу үшін олардың полюстерін салу, олардың іздерін салуға қарағанда көбірек мәліметтерді көрсетеді. Бұл құрылым кристаллография және геологияда бағыттық деректерді визуализациялау үшін қолданылады, төменде сипатталғандай.

The set of all lines through the origin in three dimensional space forms a space called the real projective plane. This plane is difficult to visualize, because it cannot be embedded in three dimensional space. However, one can visualize it as a disk, as follows. Any line through the origin intersects the southern hemisphere z ≤ 0 in a point, which can then be stereographically projected to a point on a disk in the XY plane. Horizontal lines through the origin intersect the southern hemisphere in two antipodal points along the equator, which project to the boundary of the disk. Either of the two projected points can be considered part of the disk; it is understood that antipodal points on the equator represent a single line in 3 space and a single point on the boundary of the projected disk (see quotient topology). So any set of lines through the origin can be pictured as a set of points in the projected disk. But the boundary points behave differently from the boundary points of an ordinary 2 dimensional disk, in that any one of them is simultaneously close to interior points on opposite sides of the disk (just as two nearly horizontal lines through the origin can project to points on opposite sides of the disk). Also, every plane through the origin intersects the unit sphere in a great circle, called the trace of the plane. This circle maps to a circle under stereographic projection. So the projection lets us visualize planes as circular arcs in the disk. Prior to the availability of computers, stereographic projections with great circles often involved drawing large radius arcs that required use of a beam compass. Computers now make this task much easier. Further associated with each plane is a unique line, called the plane's pole, that passes through the origin and is perpendicular to the plane. This line can be plotted as a point on the disk just as any line through the origin can. So the stereographic projection also lets us visualize planes as points in the disk. For plots involving many planes, plotting their poles produces a less cluttered picture than plotting their traces. This construction is used to visualize directional data in crystallography and geology, as described below.

Басқа визуализация

Стереографиялық проекция политоптарды визуализациялау үшін де қолданылады. Шлегель диаграммасында, (n+1)-өлшемді кеңістіктегі n-өлшемді политоп, n-өлшемді сфераға проекцияланады, содан кейін стереографиялық проекция арқылы n-өлшемді кеңістікке түсіріледі. (n+1)-өлшемді кеңістіктен n-өлшемді кеңістікке өту политопты көруді және түсінуді жеңілдетеді.

Арифметикалық геометрия

Элементарлы арифметикалық геометрияда бірлік шеңберден стереографиялық проекция барлық жайқы Пифагор үштіктерін сипаттауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, солтүстік полюстен (0,1) х осіне стереографиялық проекция бірлік шеңбердегі (y ≠ 1) рационал сан нүктелері (x, y) мен х осьтің рационал нүктелері арасында бір-бірге сәйкестік орнатады. Егер х - осьтегі рационал нүкте болса, онда оның кері стереографиялық проекциясы мына нүкте болады:

ол Пифагор үштігі үшін Евклид формуласын береді.

Картографиялық

Картографияның негізгі мәселесі – шардан жазықтыққа жасалған ешбір карта бұрыштар мен аудандарды бірдей дәл көрсете алмайды. Әдетте, ауданы сақтайтын карта проекциялары статистикалық қолданулар үшін қолайлырақ, ал бұрышты сақтайтын (конформдық) карта проекциялары навигация үшін қолайлырақ. Стереографиялық проекция екінші санатқа жатады. Егер проекция Жердің солтүстік немесе оңтүстік полюсіне ортақтастырылған болса, ол қосымша пайдалы қасиеттерге ие: ол меридиандарды бастапқы нүктеден шығатын сәулелерге, ал параллельдерді бастапқы нүктеге ортақтастырылған шеңберлерге айналдырады.

Планеталық ғылым

Стереографиялық проекция – шар бетіндегі барлық шеңберлерді жазықтықтағы шеңберлерге бейнелейтін жалғыз проекция. Бұл қасиет планеталық карта жасауда, кратерлердің әдеттегі ерекшеліктері болатын жағдайларда өте пайдалы. Проекция нүктесі арқылы өтетін шеңберлердің жиынтығы шексіз радиусқа ие болғандықтан, олар түзу сызықтарға дейін тоқырап қалады.

Кристаллография

Кристаллографияда кристалл осьтері мен үш өлшемді кеңістіктегі беттердің бағдары геометриялық тұрғыдан маңызды мәселе болып табылады, мысалы, рентген сәулесі және электрондық дифракциялық суреттерді түсіндіруде. Бұл бағдарларды жоғарыдағы "Сызықтар мен жазықтықтарды визуализациялау" бөлімінде сипатталғандай көруге болады. Яғни, кристалл осьтері және кристалл жазықтықтарына перпендикуляр сағалар солтүстік жарты шармен қиылысып, содан кейін стереографиялық проекция арқылы сызылады. Сағалардың графигі полюстік фигура деп аталады. Электрондық дифракцияда Кикучи сызықтарының жұптары тор жазықтықтарының іздері мен Эвальд сферасының қиылысында жолақтар түрінде пайда болады, бұл кристаллдың стереографиялық проекциясына тәжірибелік қолжетімділік береді. Өзара кеңістіктегі Кикучи карталарының үлгілері және тікелей кеңістікте иілу контурларымен қолдануға арналған шеттік көріну карталары, электрондық микроскопта кристалдардың бағдарлау кеңістігін зерттеу үшін жол картасы ретінде қызмет етеді.

Геология

Құрылымдық геология зерттеушілерін бірнеше себептерге байланысты жазықтықтар мен сызықтардың бағыттары қызықтырады. Тау жынысының қабаттануы – бұл жазықтық ерекшелігі, және оның ішінде көбінесе сызықтық сызық деп аталатын сызықтық элемент кездеседі. Сол сияқты, жарық жазықтығы да жазықтық ерекшелігі болып табылады, және ол сызықтық белгілерді, мысалы, жылтыр беттерді (slickensides) қамтуы мүмкін. Мұндай сызықтар мен жазықтықтардың әртүрлі масштабтағы бағыттары жоғарыдағы сызықтар мен жазықтықтарды визуализациялау бөлімінде сипатталған әдістерді пайдалана отырып, сызылуы мүмкін. Кристаллографиядағыдай, жазықтықтар көбінесе олардың полюстері арқылы сызылады. Бірақ, кристаллографиядан өзгеше, солтүстік жарты шардың орнына оңтүстік жарты шар қолданылады (өйткені зерттелетін геологиялық құрылымдар Жер бетінің астында орналасқан). Осы контексте стереографиялық проекцияны төменгі жарты шардың тең бұрышты проекциясы деп атайды. Ламберт азимуттық тең ауданды проекциясымен анықталған тең ауданды төменгі жарты шар проекциясы да қолданылады, әсіресе егер сызба тығыздық контурлау сияқты кейінгі статистикалық талдауға түсуі керек болса.

Фотография

Кейбір балық көзі линзалары кең бұрышты көрініс түсіру үшін стереографиялық проекцияны пайдаланады. Тең ауданды проекцияны қолданатын дәстүрлі балық көзі линзаларымен салыстырғанда, жиекке жақын аймақтар өз пішінін сақтайды және түзу сызықтар аз иіледі. Дегенмен, стереографиялық балық көзі линзаларын жасау көбінесе қымбатқа түседі. Panotools сияқты кескіндерді қайта бейнелеу бағдарламалық құралдары тең ауданды балық көзінен түсірілген фотосуреттерді стереографиялық проекцияға автоматты түрде қайта бейнелеуге мүмкіндік береді. Стереографиялық проекция 1779 жылдан бастап Гораций Бенедикт де Соссюрдің еңбектерінен бастап сфералық панорамаларды бейнелеу үшін қолданылып келеді. Бұл «кішкентай планета» (проекция орталығы надир болғанда) және «түтік» (проекция орталығы зенит болғанда) деп аталатын эффектілерге алып келеді. Панорамаларды бейнелеу үшін стереографиялық проекцияны басқа азимуттық проекциялардан артық пайдалану себебі – проекцияның конформдығынан туындайтын пішіннің сақталуына байланысты.