Стереографическая проекция сферы на плоскость

Введение

В математике стереографическая проекция — это перспективная проекция сферы через определенную точку на сфере (полюс или центр проекции) на плоскость (плоскость проекции), перпендикулярную диаметру, проходящему через эту точку. Это гладкое биективное отображение, переводящее всю сферу, за исключением центра проекции, на всю плоскость. Она отображает окружности на сфере в окружности или линии на плоскости и является конформной, то есть сохраняет углы, под которыми пересекаются кривые, и, следовательно, локально приблизительно сохраняет формы. Она не является ни изометрической (сохраняющей расстояния), ни равновеликой (сохраняющей площади). Стереографическая проекция предоставляет способ представления сферы плоскостью. Метрика, индуцированная обратной стереографической проекцией с плоскости на сферу, определяет геодезическое расстояние между точками на плоскости, равное сферическому расстоянию между соответствующими точками на сфере. Двумерная система координат на стереографической плоскости является альтернативным способом организации сферической аналитической геометрии по сравнению со сферическими полярными координатами или трехмерными декартовыми координатами. Это сферический аналог модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Интуитивно, стереографическая проекция — это способ визуализации сферы как плоскости, с неизбежными компромиссами. Поскольку сфера и плоскость встречаются во многих областях математики и её приложений, стереографическая проекция также находит применение в различных областях, включая комплексный анализ, картографию, геологию и фотографию. Иногда стереографические вычисления выполняются графически с использованием специальной графической бумаги, называемой стереографической сеткой, сокращенно стереосетью или сетью Вульфа.

История

Происхождение стереографической проекции неизвестно, но считается, что она была открыта древнегреческими астрономами и использовалась для проецирования небесной сферы на плоскость, чтобы анализировать движения звёзд и планет с помощью планиметрии. Самое раннее сохранившееся описание содержится в «Планисфере» Птолемея (II век н.э.), однако Синезий (ок. 400 г. н.э.) двусмысленно приписал её Гиппарху (II век до н.э.), а в «Конических сечениях» Аполлония (ок. 200 г. до н.э.) содержится теорема, имеющая решающее значение для доказательства свойства, согласно которому стереографическая проекция отображает окружности в окружности. Гиппарху, Аполлонию, Архимеду и даже Эвдоксу (IV век до н.э.) иногда спекулятивно приписывали изобретение или знание стереографической проекции, но некоторые специалисты считают эти приписывания необоснованными. Птолемей упоминает об использовании стереографической проекции в «гороскопическом инструменте», возможно, в Orologio anaforico, описанном Витрувием (I век до н.э.). К эпохе Феона Александрийского (IV век) планисфера была объединена с диоптрой, образовав планисферный астролябиум («звездочёт»), портативное устройство, позволявшее измерять положение звёзд и выполнять широкий спектр астрономических расчётов. Астролябиум находился в непрерывном использовании византийскими астрономами и был значительно усовершенствован средневековыми исламскими астрономами. Он был передан в Западную Европу в XI–XII веках вместе с арабскими текстами, переведёнными на латынь. В XVI и XVII веках экваториальный аспект стереографической проекции часто использовался для карт Восточного и Западного полушарий. Считается, что карта, созданная в 1507 году Гальтером Людом, уже была выполнена в стереографической проекции, как и более поздние карты Жана Розе (1542), Румольда Меркатора (1595) и многих других. Даже этот экваториальный аспект использовался древними астрономами, такими как Птолемей, при создании звёздных карт. Франсуа д’Агилон дал стереографической проекции её современное название в своём труде 1613 года «Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles» («Шесть книг об оптике, полезных как для философов, так и для математиков»). В конце XVI века Томас Харриот доказал, что стереографическая проекция является конформной; однако это доказательство так и не было опубликовано и более трёх столетий пролежало среди его бумаг в ящике. В 1695 году Эдмонд Галлей, заинтересованный в звёздных картах, первым опубликовал доказательство. Он использовал недавно разработанные инструменты математического анализа, изобретённые его другом Исааком Ньютоном.

The origin of the stereographic projection is not known, but it is believed to have been discovered by Ancient Greek astronomers and used for projecting the celestial sphere to the plane so that the motions of stars and planets could be analyzed using plane geometry. Its earliest extant description is found in Ptolemy's Planisphere (2nd century AD), but it was ambiguously attributed to Hipparchus (2nd century BC) by Synesius (c. 400 AD), and Apollonius's Conics (c. 200 BC) contains a theorem which is crucial in proving the property that the stereographic projection maps circles to circles. Hipparchus, Apollonius, Archimedes, and even Eudoxus (4th century BC) have sometimes been speculatively credited with inventing or knowing of the stereographic projection, but some experts consider these attributions unjustified. Ptolemy refers to the use of the stereographic projection in a "horoscopic instrument", perhaps the Orologio anaforico described by Vitruvius (1st century BC). By the time of Theon of Alexandria (4th century), the planisphere had been combined with a dioptra to form the planispheric astrolabe ("star taker"), a capable portable device which could be used for measuring star positions and performing a wide variety of astronomical calculations. The astrolabe was in continuous use by Byzantine astronomers, and was significantly further developed by medieval Islamic astronomers. It was transmitted to Western Europe during the 11th–12th century, with Arabic texts translated into Latin. In the 16th and 17th century, the equatorial aspect of the stereographic projection was commonly used for maps of the Eastern and Western Hemispheres. It is believed that already the map created in 1507 by Gualterius Lud was in stereographic projection, as were later the maps of Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595), and many others. In star charts, even this equatorial aspect had been utilised already by the ancient astronomers like Ptolemy. François d'Aguilon gave the stereographic projection its current name in his 1613 work Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Six Books of Optics, useful for philosophers and mathematicians alike). In the late 16th century, Thomas Harriot proved that the stereographic projection is conformal; however, this proof was never published and sat among his papers in a box for more than three centuries. In 1695, Edmond Halley, motivated by his interest in star charts, was the first to publish a proof. He used the recently established tools of calculus, invented by his friend Isaac Newton.

Сеть Wulff

Стереографические проекционные графики могут быть выполнены компьютером с использованием формул, приведенных выше. Однако для построения вручную эти формулы неудобны в использовании. Вместо этого обычно используется графовая бумага, разработанная специально для этой цели. Эта специальная графовая бумага называется стереосетью или сетью Вульфа, в честь русского минералога Георгия (Юрия Викторовича) Вульфа. Сеть Вульфа, показанная здесь, является стереографической проекцией сетки параллелей и меридианов полусферы, центрированной в точке на экваторе (например, восточного или западного полушария планеты). На рисунке можно увидеть искажение площади при стереографической проекции, сравнив сектор сетки вблизи центра сети с сектором в крайнем правом или левом углу. Эти два сектора имеют одинаковую площадь на сфере. На диске последний сектор имеет площадь почти в четыре раза больше первого. Если сетку сделать более мелкой, это соотношение стремится к 4. На сети Вульфа изображения параллелей и меридианов пересекаются под прямым углом. Это свойство ортогональности является следствием сохранения углов при стереографической проекции. (Однако свойство сохранения углов сильнее этого свойства. Не все проекции, сохраняющие ортогональность параллелей и меридианов, сохраняют углы.) В качестве примера использования сети Вульфа представьте себе две копии сети Вульфа на тонкой бумаге, расположенные одна над другой, выровненные и закрепленные в их общем центре. Пусть P – точка на нижнем единичном полушарии, имеющая сферические координаты (140°, 60°) и декартовы координаты (0,321, 0,557, −0,766). Эта точка лежит на линии, ориентированной на 60° против часовой стрелки от положительной оси x (или на 30° по часовой стрелке от положительной оси y) и на 50° ниже горизонтальной плоскости. После определения этих углов нанесение точки P на график включает четыре шага: Используя линии сетки, расположенные на расстоянии 10° друг от друга на рисунках, отметьте точку на краю сети, находящуюся на 60° против часовой стрелки от точки (1, 0) (или на 30° по часовой стрелке от точки (0, 1)). Поверните верхнюю сеть до тех пор, пока эта точка не совпадет с точкой (1, 0) на нижней сети. Используя линии сетки на нижней сети, отметьте точку, находящуюся на 50° ближе к центру от этой точки. Поверните верхнюю сеть в противоположном направлении, чтобы вернуть ее в соответствие с нижней сетью. Точка, отмеченная на шаге 3, и есть искомая проекция. Для нанесения других точек, углы которых не являются такими круглыми числами, как 60° и 50°, необходимо визуально интерполировать между ближайшими линиями сетки. Полезно иметь сеть с более мелким шагом, чем 10°. Обычно используется шаг 2°. Чтобы определить центральный угол между двумя точками на сфере на основе их стереографического представления, наложите представление на сеть Вульфа и вращайте представление вокруг центра, пока две точки не окажутся на или вблизи меридиана. Затем измерьте угол между ними, подсчитывая линии сетки вдоль этого меридиана.

Stereographic projection plots can be carried out by a computer using the explicit formulas given above. However, for graphing by hand these formulas are unwieldy. Instead, it is common to use graph paper designed specifically for the task. This special graph paper is called a stereonet or Wulff net, after the Russian mineralogist George (Yuri Viktorovich) Wulff. The Wulff net shown here is the stereographic projection of the grid of parallels and meridians of a hemisphere centred at a point on the equator (such as the Eastern or Western hemisphere of a planet). In the figure, the area distorting property of the stereographic projection can be seen by comparing a grid sector near the center of the net with one at the far right or left. The two sectors have equal areas on the sphere. On the disk, the latter has nearly four times the area of the former. If the grid is made finer, this ratio approaches exactly 4. On the Wulff net, the images of the parallels and meridians intersect at right angles. This orthogonality property is a consequence of the angle preserving property of the stereographic projection. (However, the angle preserving property is stronger than this property. Not all projections that preserve the orthogonality of parallels and meridians are angle preserving.) For an example of the use of the Wulff net, imagine two copies of it on thin paper, one atop the other, aligned and tacked at their mutual center. Let P be the point on the lower unit hemisphere whose spherical coordinates are (140°, 60°) and whose Cartesian coordinates are (0.321, 0.557, −0.766). This point lies on a line oriented 60° counterclockwise from the positive x axis (or 30° clockwise from the positive y axis) and 50° below the horizontal plane Once these angles are known, there are four steps to plotting P:
Using the grid lines, which are spaced 10° apart in the figures here, mark the point on the edge of the net that is 60° counterclockwise from the point (1, 0) (or 30° clockwise from the point (0, 1)). Rotate the top net until this point is aligned with (1, 0) on the bottom net. Using the grid lines on the bottom net, mark the point that is 50° toward the center from that point. Rotate the top net oppositely to how it was oriented before, to bring it back into alignment with the bottom net. The point marked in step 3 is then the projection that we wanted. To plot other points, whose angles are not such round numbers as 60° and 50°, one must visually interpolate between the nearest grid lines. It is helpful to have a net with finer spacing than 10°. Spacings of 2° are common. To find the central angle between two points on the sphere based on their stereographic plot, overlay the plot on a Wulff net and rotate the plot about the center until the two points lie on or near a meridian. Then measure the angle between them by counting grid lines along that meridian.

Визуализация линий и плоскостей

Набор всех прямых, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве, образует пространство, называемое вещественной проективной плоскостью. Эту плоскость трудно представить, поскольку её нельзя вложить в трехмерное пространство. Однако её можно визуализировать как диск следующим образом. Любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает южное полушарие z ≤ 0 в точке, которую затем можно стереографически спроецировать в точку на диске в плоскости XY. Горизонтальные прямые, проходящие через начало координат, пересекают южное полушарие в двух антиподальных точках вдоль экватора, которые проецируются на границу диска. Любую из двух спроецированных точек можно считать частью диска; подразумевается, что антиподальные точки на экваторе представляют собой одну прямую в трехмерном пространстве и одну точку на границе спроецированного диска (см. топологию частного). Таким образом, любой набор прямых, проходящих через начало координат, можно представить как набор точек в спроецированном диске. Однако граничные точки ведут себя иначе, чем граничные точки обычного двумерного диска, поскольку любая из них одновременно близка к внутренним точкам на противоположных сторонах диска (так же, как две почти горизонтальные прямые, проходящие через начало координат, могут проецироваться в точки на противоположных сторонах диска). Кроме того, каждая плоскость, проходящая через начало координат, пересекает единичную сферу в большом круге, называемом следом плоскости. Этот круг отображается в круг при стереографической проекции. Таким образом, проекция позволяет визуализировать плоскости как круговые дуги на диске. До появления компьютеров стереографические проекции с большими кругами часто требовали рисования дуг большого радиуса с использованием циркуля-указателя. Компьютеры теперь значительно упрощают эту задачу. Кроме того, с каждой плоскостью связана уникальная прямая, называемая полюсом плоскости, которая проходит через начало координат и перпендикулярна плоскости. Эту прямую можно изобразить как точку на диске, как и любую прямую, проходящую через начало координат. Следовательно, стереографическая проекция также позволяет визуализировать плоскости как точки на диске. При построении графиков, включающих множество плоскостей, построение их полюсов дает менее загроможденную картину, чем построение их следов. Эта конструкция используется для визуализации направленных данных в кристаллографии и геологии, как описано ниже.

The set of all lines through the origin in three dimensional space forms a space called the real projective plane. This plane is difficult to visualize, because it cannot be embedded in three dimensional space. However, one can visualize it as a disk, as follows. Any line through the origin intersects the southern hemisphere z ≤ 0 in a point, which can then be stereographically projected to a point on a disk in the XY plane. Horizontal lines through the origin intersect the southern hemisphere in two antipodal points along the equator, which project to the boundary of the disk. Either of the two projected points can be considered part of the disk; it is understood that antipodal points on the equator represent a single line in 3 space and a single point on the boundary of the projected disk (see quotient topology). So any set of lines through the origin can be pictured as a set of points in the projected disk. But the boundary points behave differently from the boundary points of an ordinary 2 dimensional disk, in that any one of them is simultaneously close to interior points on opposite sides of the disk (just as two nearly horizontal lines through the origin can project to points on opposite sides of the disk). Also, every plane through the origin intersects the unit sphere in a great circle, called the trace of the plane. This circle maps to a circle under stereographic projection. So the projection lets us visualize planes as circular arcs in the disk. Prior to the availability of computers, stereographic projections with great circles often involved drawing large radius arcs that required use of a beam compass. Computers now make this task much easier. Further associated with each plane is a unique line, called the plane's pole, that passes through the origin and is perpendicular to the plane. This line can be plotted as a point on the disk just as any line through the origin can. So the stereographic projection also lets us visualize planes as points in the disk. For plots involving many planes, plotting their poles produces a less cluttered picture than plotting their traces. This construction is used to visualize directional data in crystallography and geology, as described below.

Другие визуализации

Стереографическая проекция также применяется для визуализации политопов. В диаграмме Шлегеля n-мерный политоп в R^(n+1) проецируется на n-мерную сферу, которая затем стереографически проецируется на R^(n). Уменьшение размерности с R^(n+1) до R^(n) может облегчить визуализацию и понимание политопа.

Арифметическая геометрия

В элементарной арифметической геометрии стереографическая проекция от единичной окружности предоставляет способ описать все примитивные пифагорейские тройки. В частности, стереографическая проекция с северного полюса (0,1) на ось x устанавливает взаимно однозначное соответствие между рациональными точками (x, y) на единичной окружности (при y ≠ 1) и рациональными точками оси x. Если *t* – рациональная точка на оси x, то ее обратная стереографическая проекция – это точка

которая дает формулу Евклида для пифагорейской тройки.

Картография

Основная проблема картографии заключается в том, что ни одна проекция сферы на плоскость не может одновременно точно сохранять и углы, и площади. Как правило, для статистических задач предпочтительны площади-сохраняющие проекции, а для навигации – угло-сохраняющие (конформные) проекции. Стереографическая проекция относится ко второму типу. При центрировании проекции на северном или южном полюсе Земли она обладает дополнительными полезными свойствами: меридианы отображаются в лучи, исходящие из начала координат, а параллели – в окружности с центром в начале координат.

Планетарная наука

Стереографическая проекция – единственная проекция, отображающая все окружности на сфере в окружности на плоскости. Это свойство особенно ценно при картографировании планет, где кратеры являются типичными элементами рельефа. Множество окружностей, проходящих через точку проекции, имеет бесконечный радиус и, следовательно, вырождается в прямые линии.

Кристаллография

В кристаллографии ориентация кристаллических осей и граней в трехмерном пространстве является центральной геометрической задачей, например, при интерпретации рентгеновской и электронной дифракционных картин. Эти ориентации можно визуализировать, как описано в разделе "Визуализация линий и плоскостей" выше. А именно, кристаллические оси и полюса кристаллических плоскостей пересекаются с северным полушарием и затем отображаются с использованием стереографической проекции. График полюсов называется полярной диаграммой (или фигурой полюсов). В электронной дифракции пары линий Кикучи проявляются в виде полос, окаймляющих пересечение следов плоскостей решетки со сферой Эвальда, тем самым обеспечивая экспериментальный доступ к стереографической проекции кристалла. Модельные карты линий Кикучи в обратном пространстве и карты видимости интерференционных полос для использования с контурами изгиба в прямом пространстве служат своего рода картами для исследования пространства ориентаций кристаллов в просвечивающем электронном микроскопе.

Геология

Исследователи в области структурной геологии изучают ориентацию плоскостей и линий по ряду причин. Сланцеватость породы – это пластовая структура, которая часто содержит линейную структуру, называемую линией растяжения. Аналогично, плоскость разлома – это пластовая структура, которая может содержать линейные элементы, такие как полосы скольжения. Эти ориентации линий и плоскостей в различных масштабах можно отображать, используя методы, описанные в разделе «Визуализация линий и плоскостей» выше. Как и в кристаллографии, плоскости обычно отображаются по их полюсам. В отличие от кристаллографии, используется южное полушарие вместо северного (поскольку рассматриваемые геологические структуры находятся ниже поверхности Земли). В этом контексте стереографическая проекция часто называется равноугольной проекцией нижнего полушария. Также используется равновеликая проекция нижнего полушария, определяемая азимутальной равновеликой проекцией Ламберта, особенно когда график должен быть подвергнут последующему статистическому анализу, например, построению контуров плотности.

Фотография

Некоторые объективы "рыбий глаз" используют стереографическую проекцию для захвата широкого угла обзора. По сравнению с более традиционными объективами "рыбий глаз", использующими равновеликую проекцию, области вблизи края сохраняют свою форму, а прямые линии менее искривлены. Однако стереографические объективы "рыбий глаз" обычно дороже в производстве. Программное обеспечение для переназначения пикселей изображения, такое как Panotools, позволяет автоматически переносить фотографии с равновеликой проекции "рыбий глаз" в стереографическую проекцию. Стереографическая проекция использовалась для создания сферических панорам, начиная с работы Гораса Бенедикта де Соссюра в 1779 году. Это приводит к эффектам, известным как "маленькая планета" (когда центр проекции находится в надире) и "труба" (когда центр проекции находится в зените). Популярность использования стереографических проекций для создания панорам по сравнению с другими азимутальными проекциями объясняется сохранением формы, которое является результатом конформности проекции.