Введение
Реальный, гладкий многообразный, снабженный римановой метрикой – понятие из дифференциальной геометрии.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
В дифференциальной геометрии риманов многообразный или риманово пространство (M, g), названный так в честь немецкого математика Бернхарда Римана, представляет собой реальный, гладкий многообразный M, снабженный положительно определенным внутренним произведением gp на касательном пространстве TpM в каждой точке p.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
Семейство внутренних произведений gp называется римановой метрикой (или римановым метрическим тензором). Риманова геометрия – это изучение римановых многообразий. Распространенной конвенцией является требование гладкости g, что означает, что для любой гладкой координатной окрестности (U, x) на M, n² функций
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
являются гладкими функциями, то есть бесконечно дифференцируемыми. Эти функции обычно обозначаются как .
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
При наложении дополнительных ограничений на g можно также рассматривать римановы метрики Липшица или измеримые римановы метрики, среди множества других возможностей. Риманова метрика (тензор) позволяет определить различные геометрические понятия на римановом многообразии, такие как угол между касательными, длина кривой, площадь поверхности и их многомерные аналоги (объем и т.д.), внешняя кривизна подмногообразий и внутренняя кривизна самого многообразия.
a concept from differential geometry
In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p.
The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions
are smooth functions, i. e., they are infinitely differentiable. These functions are commonly designated as
With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher dimensional analogues (volume, etc. ), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself.
Введение
В 1828 году Карл Фридрих Гаус доказал свою теорему Egregium («замечательная теорема» на латыни), установив важное свойство поверхностей. Если говорить неформально, то теорема утверждает, что кривизну поверхности можно определить исключительно путем измерения расстояний вдоль путей, лежащих на этой поверхности. Иными словами, кривизна не зависит от того, как поверхность может быть вложена в трехмерное пространство. См. Дифференциальную геометрию поверхностей. Бернхард Риманн расширил теорию Гаусса на пространства более высоких размерностей, называемые многообразиями, таким образом, что стало возможным измерять расстояния и углы и определять понятие кривизны, причем опять же таким образом, который является внутренним свойством многообразия и не зависит от его вложения в пространства более высоких размерностей. Альберт Эйнштейн использовал теорию псевдоримановых многообразий (обобщение римановых многообразий) для разработки своей общей теории относительности. В частности, его уравнения гравитации представляют собой ограничения на искривление пространства-времени.
Регулярность римановской метрики
Говорят, что риманова метрика непрерывна, если её коэффициенты непрерывны в любой гладкой координатной окрестности. Говорят, что она гладкая, если эти коэффициенты гладки в любой гладкой координатной окрестности. В этом духе можно рассмотреть и многие другие типы римановых метрик. В большинстве изложений римановой геометрии метрики всегда предполагаются гладкими. Однако могут быть веские причины рассматривать метрики, которые не являются гладкими. В частности, римановы метрики, полученные методами геометрического анализа, могут быть негладкими. См., например, (Gromov 1999) и (Shi and Tam 2002).
Обзор
Примеры римановых многообразий будут рассмотрены ниже. Известная теорема Джона Нэша утверждает, что для любого гладкого риманова многообразия существует (обычно большое) число *N* и вложение *f* такие, что откат стандартной римановой метрики на ℝⁿ посредством *f* равен исходной метрике. Неформально, вся структура гладкого риманова многообразия может быть закодирована диффеоморфизмом в некоторое вложенное подмногообразие евклидова пространства. В этом смысле можно утверждать, что рассмотрение абстрактных гладких многообразий и их римановых метрик не дает никакой дополнительной информации. Однако существует множество естественных гладких римановых многообразий, таких как множество вращений трехмерного пространства и гиперболическое пространство, для которых любое представление в виде подмногообразия евклидова пространства не сможет отразить их замечательные симметрии и свойства столь же ясно, как их абстрактные описания.
Встроенные подмножества
Пусть M — риманово многообразие и пусть N — вложенное подмногообразие M размерности не менее n. Тогда ограничение римановой метрики g на векторы, касательные к N, определяет риманову метрику на N.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Например, рассмотрим R^n, являющееся гладким вложенным подмногообразием евклидова пространства с его стандартной метрикой. Риманова метрика, индуцированная на R^n, называется стандартной или канонической метрикой на R^n.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Существует множество подобных примеров. Например, любой эллипсоид в R^3 имеет естественную риманову метрику. График гладкой функции является вложенным подмногообразием и, следовательно, также имеет естественную риманову метрику.
For example, consider which is a smooth embedded submanifold of the Euclidean space with its standard metric. The Riemannian metric this induces on is called the standard metric or canonical metric on
There are many similar examples. For example, every ellipsoid in has a natural Riemannian metric. The graph of a smooth function is an embedded submanifold, and so has a natural Riemannian metric as well.
Каждый гладкий многообразный имеет римановскую метрику
Это фундаментальный результат. Хотя значительная часть базовой теории римановых метрик может быть разработана, используя лишь тот факт, что гладкое многообразие локально евклидово, для этого результата необходимо включить в определение "гладкого многообразия" условия хаусдорфовости и паракомпактности. Причина в том, что в доказательстве используется разбиение единицы.
Длина детализированных непрерывно дифференцируемых кривых
Если функция дифференцируема, то каждому сопоставляется вектор в векторном пространстве, размер которого можно измерить нормой. Таким образом, определяет неотрицательную функцию на интервале. Длина определяется как интеграл этой функции; однако, в представленном виде, нет оснований ожидать, что эта функция будет интегрируемой. Обычно предполагается, что g непрерывна и непрерывно дифференцируема, так что функция, подлежащая интегрированию, является неотрицательной и непрерывной, и, следовательно, длина
определена корректно. Это определение можно легко расширить для определения длины любой кусочно-непрерывно дифференцируемой кривой. Во многих случаях, например, при определении тензора кривизны Римана, необходимо требовать, чтобы g обладала большей регулярностью, чем просто непрерывность; это будет обсуждаться отдельно. Пока что непрерывности g будет достаточно, чтобы использовать определенную выше длину для наделения M структурой метрического пространства, при условии, что оно связно.
Геодезическая полнота
Риманов многообразие M геодезически полно, если для всех p ∈ M экспоненциальное отображение exp_p определено для всех v ∈ T_pM, то есть если любая геодезическая γ(t), начинающаяся в p, определена для всех значений параметра t ∈ R. Теорема Хопфа — Ринова утверждает, что M геодезически полно тогда и только тогда, когда оно полно как метрическое пространство. Если M полно, то M не допускает расширения, в том смысле, что оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Однако обратное неверно: существуют многообразия, не допускающие расширения, которые не являются полными.
Бесконечные многомерные коллекторы
Вышеуказанные утверждения и теоремы справедливы для многообразий конечной размерности — многообразий, чьи локальные отображения (карты) переходят в открытые подмножества ℝⁿ. Эти утверждения могут быть в определенной степени расширены на многообразия бесконечной размерности, то есть на многообразия, моделируемые на основе топологического векторного пространства; например, многообразия Фреше, Банаха и Гильберта.
Примеры
Если H – гильбертово пространство, то для любого x можно отождествить H с H, полагая для всех y: <x, y> = <y, x>. Таким образом, получается сильная риманова метрика. Пусть M – компактное риманово многообразие и обозначим через Diff(M) его группу диффеоморфизмов. Последняя является гладким многообразием (см. здесь) и, фактически, группой Ли. Ее касательное расслоение в единице – это множество гладких векторных полей на M. Пусть ω – объемная форма на M. Тогда можно определить слабую риманову метрику на Diff(M). Пусть g – эта метрика, и для x, y ∈ T_e Diff(M) определим <x, y> = ∫_M ω(x(p), y(p)) dvol(p). Слабая риманова метрика на Diff(M) индуцирует исчезающее геодезическое расстояние, см. Michor и Mumford (2005).
Метрическая пространственная структура
Длина кривых определяется аналогично случаю с конечным числом измерений. Функция определяется тем же образом и называется геодезическим расстоянием. В конечномерном случае доказательство того, что эта функция является метрикой, опирается на существование предкомпактного открытого множества в окрестности любой точки. В бесконечномерном случае открытые множества больше не являются предкомпактными, и поэтому это утверждение может быть неверным. Если на пространстве задана сильная риманова метрика, то она разделяет точки (следовательно, является метрикой) и индуцирует исходную топологию. Если задана слабая риманова метрика, но не сильная, она может не разделять точки или даже быть вырожденной. Пример последнего можно найти в работе Valentino и Daniele (2019).
Теорема Хопфа Ринова
В случае сильных римановых метрик, часть теоремы Хопфа — Ринова для конечных размерностей всё ещё сохраняет силу. Теорема: Пусть — сильное риманово многообразие. Тогда метрическая полнота (в данной метрике) влечёт геодезическую полноту (геодезические существуют для любого времени). Доказательство можно найти в (Lang 1999, глава VII, раздел 6). Другие утверждения, справедливые для конечных размерностей, могут оказаться неверными. Пример можно найти здесь. Если — слабая риманова метрика, то ни одно понятие полноты, в общем случае, не влечёт другое.