Кіріспе
Өріс теориясында қарапайым кеңейту - бұл бастапқы элемент деп аталатын бір элементтің қосылуы арқылы пайда болатын өріс кеңейтуі. Қарапайым кеңейтулер жақсы түсініледі және толықтай жіктелуі мүмкін. Бастапқы элемент теоремасы шекті қарапайым кеңейтулердің сипаттамасын береді.
Қарапайым кеңейтулердің құрылымы
L - K-ның θ-мен құрылған қарапайым кеңейтуі болсын. K[X] полиномиялық сақина үшін оның негізгі қасиеттерінің бірі - бірегей сақина гомоморфизмі. Екі жағдай болуы мүмкін. Егер инъективті болса, онда K[X] K ((X) фракцияларының өрісіне инъективті түрде кеңейтілуі мүмкін. L θ-мен пайда болғандықтан, бұл K ((X) L-ге изоморфизм екенін білдіреді. Бұл L-нің әрбір элементі θ-дағы көптік сандардың азайтылмайтын бөлшегіне тең екенін және егер екі осындай азайтылмайтын бөлшектер бір-бірінен екіншісіне шаққанда тең болса және тек егер олардың бірі шаққанда шаққанда және шаққанда K-ның нөлдік емес элементімен көбейтілуі мүмкін. Егер инъективті болмаса, p ((X) өзінің ядросының генераторы болсын, яғни θ-дің ең аз полиномы. L-дің суреті L-дің суббұрышы, демек интегралды домен. Бұл p - азайтылмайтын көптік, сондықтан үлестік сақина өріс болып табылады. L θ-мен құрылғандықтан, ол сюрективті болып табылады және L-ден L-ге изоморфизмді тудырады. Бұл L-нің әрбір элементі θ-тен төмен дәрежедегі бірегей полиномияға тең екенін білдіреді. Яғни, бізде K негізді L бар .
Two cases may occur. If is injective, it may be extended injectively to the field of fractions K(X) of K[X]. Since L is generated by θ, this implies that is an isomorphism from K(X) onto L. This implies that every element of L is equal to an irreducible fraction of polynomials in θ, and that two such irreducible fractions are equal if and only if one may pass from one to the other by multiplying the numerator and the denominator by the same non zero element of K.
If is not injective, let p(X) be a generator of its kernel, which is thus the minimal polynomial of θ. The image of is a subring of L, and thus an integral domain. This implies that p is an irreducible polynomial, and thus that the quotient ring is a field. As L is generated by θ, is surjective, and induces an isomorphism from onto L. This implies that every element of L is equal to a unique polynomial in θ of degree lower than the degree That is, we have a K basis of L given by .
Мысалдар
Q / Q арқылы пайда болған C / R кез келген сан өрісі (яғни Q-ның шекті кеңейтілуі) кейбір θ үшін қарапайым кеңейту Q ((θ) болып табылады. Мысалы, F ((X) / F, рационалдық функциялар өрісі, формальды өзгермелі X арқылы пайда болады.