Введение
В теории поля простое расширение - это расширение поля, которое генерируется присоединением одного элемента, называемого примитивным элементом. Простые расширения хорошо понятны и могут быть полностью классифицированы. Теорема о примитивных элементах дает характеристику конечных простых расширений.
Структура простых расширений
Пусть L является простым расширением K, сгенерированным θ. Для многочленного кольца K[X] одно из его основных свойств - уникальный гомоморфизм кольца. Могут возникнуть два случая. Если он инжекционный, то он может быть расширен инжекционно до поля дробей K ((X) K[X]. Поскольку L генерируется θ, это означает, что это изоморфизм от K ((X) на L. Это означает, что каждый элемент L равен неснижаемой части многочлена в θ, и что две такие неснижаемые части равны, если и только если можно перейти от одной к другой, умножив числитель и знаменатель на тот же ненулевой элемент K. Если не инъективный, пусть p ((X) будет генератором его ядра, который, таким образом, является минимальным многочлемом θ. Изображение of является подмножеством L, и, таким образом, интегральным доменом. Это подразумевает, что p является необратимым многочленом, и, таким образом, что кольцо коэффициентов является полем. Поскольку L генерируется θ, является сюрективным и индуцирует изоморфизм от на L. Это подразумевает, что каждый элемент L равен уникальному полиному в θ степени ниже степени То есть у нас есть основание K L, данное .
Two cases may occur. If is injective, it may be extended injectively to the field of fractions K(X) of K[X]. Since L is generated by θ, this implies that is an isomorphism from K(X) onto L. This implies that every element of L is equal to an irreducible fraction of polynomials in θ, and that two such irreducible fractions are equal if and only if one may pass from one to the other by multiplying the numerator and the denominator by the same non zero element of K.
If is not injective, let p(X) be a generator of its kernel, which is thus the minimal polynomial of θ. The image of is a subring of L, and thus an integral domain. This implies that p is an irreducible polynomial, and thus that the quotient ring is a field. As L is generated by θ, is surjective, and induces an isomorphism from onto L. This implies that every element of L is equal to a unique polynomial in θ of degree lower than the degree That is, we have a K basis of L given by .
Примеры
C / R, генерируемое Q / Q, генерируемое любым числовым полем (т.е. конечным расширением Q) является простое расширение Q ((θ) для некоторого θ. Например, генерируется F ((X) / F, поле рациональных функций, генерируется формальной переменной X.