Кіріспе
Квадраттық бет, деформацияланған сфераға ұқсайтын. Эллипсоид – бағытталған масштабтау немесе жалпы жағдайда аффиндік түрлендіру арқылы шарды деформациялау нәтижесінде алынатын бет. Эллипсоид – квадраттық бет, яғни үш айнымалының екінші дәрежелі көпмүшесінің нөлдік жиыны ретінде анықталатын бет. Квадраттық беттердің арасында эллипсоид келесі екі қасиетінің бірімен сипатталады: әрбір жазық қимасы эллипс болады, не бос болады, не бір нүктеге дейін тоғады (осының арқасында бет "эллипс тәрізді" деп аталады). Ол шектеулі, яғни оны жеткілікті үлкен шарға сыйыстыруға болады. Эллипсоидта үш өзара перпендикуляр симметрия осі бар, олар эллипсоидтың центрі деп аталатын симметрия центрінде қиылысады. Эллипсоидтың симметрия осьтеріндегі шектелген сызық сегменттері негізгі осьтер немесе жай ғана эллипсоидтың осьтері деп аталады. Егер үш осьтің ұзындығы әртүрлі болса, фигура триаксиалды эллипсоид (сирек кездесетін скалендік эллипсоид) болып табылады, ал осьтер бірегей түрде анықталады. Егер екі осьтің ұзындығы бірдей болса, онда эллипсоид айналу эллипсоиды, сондай-ақ сфероид деп аталады. Бұл жағдайда эллипсоид үшінші осьтің айналымына қатысты өзгермейді, сондықтан бірдей ұзындықтағы екі перпендикуляр осьті таңдаудың шексіз көп жолы бар. Егер үшінші ось қысқа болса, эллипсоид жалпақ сфера болып табылады; егер ол ұзын болса, ол сопақ сфера болып табылады. Егер үш осьтің ұзындығы бірдей болса, эллипсоид шар болып табылады.
An ellipsoid is a surface that can be obtained from a sphere by deforming it by means of directional scalings, or more generally, of an affine transformation. An ellipsoid is a quadric surface; that is, a surface that may be defined as the zero set of a polynomial of degree two in three variables. Among quadric surfaces, an ellipsoid is characterized by either of the two following properties. Every planar cross section is either an ellipse, or is empty, or is reduced to a single point (this explains the name, meaning "ellipse like"). It is bounded, which means that it may be enclosed in a sufficiently large sphere. An ellipsoid has three pairwise perpendicular axes of symmetry which intersect at a center of symmetry, called the center of the ellipsoid. The line segments that are delimited on the axes of symmetry by the ellipsoid are called the principal axes, or simply axes of the ellipsoid. If the three axes have different lengths, the figure is a triaxial ellipsoid (rarely scalene ellipsoid), and the axes are uniquely defined. If two of the axes have the same length, then the ellipsoid is an ellipsoid of revolution, also called a spheroid. In this case, the ellipsoid is invariant under a rotation around the third axis, and there are thus infinitely many ways of choosing the two perpendicular axes of the same length. If the third axis is shorter, the ellipsoid is an oblate spheroid; if it is longer, it is a prolate spheroid. If the three axes have the same length, the ellipsoid is a sphere.
Шамамен формула
Мұнда p ≈ 1.6075 шамамен 1.061% салыстырмалы қателік береді; дерлік шар тәрізді эллипсоидтар үшін бұл мән оңтайлы, оның салыстырмалы қателігі шамамен 1.178% құрайды. c-нің a және b-ден әлдеқайда кіші болатын "жазық" лимитінде аудан шамамен 2πab-қа тең, бұл 1=p = log23 ≈ 1.5849625007-ге баламалы.
Ұшақ секциялары
Ұшақ пен сфераның қиылысуы шеңбер (немесе бір нүктеге дейін тоғады, немесе бос жиын болады). Кез келген эллипсоид – бірлік сфераның кейбір аффиндік түрлендіру арқылы алынған бейнесі, ал кез келген жазықтық – сол түрлендіру арқылы алынған басқа жазықтықтың бейнесі. Сондықтан, аффиндік түрлендірулер шеңберлерді эллипстерге айналдырады, демек жазықтық пен эллипсоидтың қиылысуы эллипс немесе бір нүкте болады, немесе бос жиын болады. Әрине, сфералар шеңберлерді қамтиды. Бұл триаксиалды эллипсоидтар үшін де дұрыс, бірақ көзғалым аз (Шеңберлік қиманы қараңыз).
Шыналы және сымдық конструкциялар
Эллипсоидты штифт пен жіп арқылы салу – екі штифт пен жіп қолданып эллипс салу идеясының көшірмесі (суретті қараңыз). Айналма эллипсоидының штифт пен жіп арқылы салынуы, айналған эллипстің штифт пен жіп арқылы салынуымен беріледі. Триаксиалды эллипсоидтың нүктелерін салу одан да күрделі. Алғашқы идеялар шотланд физигі Дж. К. Максвеллге (1868) тиесілі. Негізгі зерттеулерді және квадриктерге қатысты кеңейтуді 1882, 1886 және 1898 жылдары неміс математигі О. Стауде жүргізді. Эллипсоидтар мен гиперболоидтарды штифт пен жіп арқылы салу туралы сипаттама Д. Гильберт пен С. Воссеннің «Геометрия және қиял» кітабында да кездеседі.
Конверс
Егер, керісінше, үш өстік эллипсоид теңдеуімен берілген болса, онда 3-қадамдағы теңдеулерден a, b, l параметрлерін штифттер мен жіптен тұратын конструкция үшін табуға болады.
Шекті жағдай, айналым эллипсоиды
Сфероид жағдайында біз аламыз және , яғни фокустық эллипс түзу кесіндісіне тозады, ал фокустық гипербола x осіндегі екі шексіз түзу кесіндісіне дейін ыдырайды. Эллипсоид x осінің айналысы бойынша симметриялы және .
.
Фокустық эллипстің қасиеттері
Фокалды эллипс және оның ішкі бөлігі конфокалды эллипсоидтар жиынының a, b үшін rz → 0 болғандағы шекті беті (инфинитті жұқа эллипсоид) ретінде қарастырылуы мүмкін. Шекті жағдайда келесісі алынады:
Стандартты теңдеу
Гиперэллипсоид немесе Эвклид кеңістігінің өлшемділігіндегі эллипсоид – бұл оң анықталған квадраттық формасы екінші дәрежелі гомогенді бөлігі бар екінші дәрежелі полиноммен анықталатын квадрикалық гипербет. Гиперэллипсоидты инверттік аффиндік түрлендіруге түскен сфераның бейнесі деп те анықтауға болады. Спектрлік теореманы қайтадан қолдану арқылы гиперсфераның көлемін есептеу формуласындағы Rn-ді жарты осьтердің көбейтіндісімен (a1a2…an) алмастыру арқылы n-өлшемді гиперэллипсоидтың көлемін табуға болады:
The volume of an n dimensional hyperellipsoid can be obtained by replacing Rn by the product of the semi axes a1a2 an in the formula for the volume of a hypersphere:
(where Γ is the gamma function).
(мұнда Γ – гамма функциясы).
The volume of an n dimensional hyperellipsoid can be obtained by replacing Rn by the product of the semi axes a1a2 an in the formula for the volume of a hypersphere:
(where Γ is the gamma function).
Сұйықтық динамикасы
Эллипсоид – қатты дененің үстінен ағатын сұйықтықтың баяу ағынын есептеуге мүмкіндік берген ең жалпы пішін. Есептеулерге сұйықтық арқылы жылжу және оның ішінде айналу үшін қажетті күштер кіреді. Осы есептеулердің қолданылу аясына ірі молекулалардың мөлшері мен пішінін, кішкентай бөлшектердің шөгу жылдамдығын және микроорганизмдердің жүзу қабілеттерін анықтау жатады.
Ықтималдық және статистика
Эллипстік үлестірулер, көпөлшемді қалыпты үлестіруді жалпылайтын және қаржы саласында қолданылатын, олардың тығыздық функциялары арқылы анықталады. Егер олар болса, тығыздық функциялары f мынадай құрылымға ие:
мұнда k – масштабтық фактор, 'x' – медиана векторы 'μ' (соңғысы бар болған жағдайда орташа вектор), 'Σ' – ковариациялық матрицаға пропорционалды оң белгілі матрица, ал g – нөл емес нақты сандарды нөл емес нақты сандарға бейнелейтін функция, қисық астындағы шекті ауданы қамтамасыз етеді. Көпөлшемді қалыпты үлестіру – z квадраттық түрі үшін ерекше жағдай. Осылайша, тығыздық функциясы квадраттық өрнектің скалярдан скалярға түрленуі болып табылады. Бұдан әрі, кез келген изотығыздық бетінің теңдеуі квадраттық өрнектің осы тығыздық мәніне тән белгілі бір тұрақтыға тең екенін, ал изотығыздық беті эллипсоид екенін көрсетеді.