Введение

Квадрическая поверхность, напоминающая деформированную сферу.

Эллипсоид — это поверхность, которую можно получить из сферы, деформируя её посредством направленных масштабирований или, в более общем случае, аффинного преобразования. Эллипсоид является квадрической поверхностью, то есть поверхностью, которую можно определить как множество нулей многочлена второй степени от трёх переменных. Среди квадрических поверхностей эллипсоид характеризуется одним из следующих двух свойств. Любое плоское сечение является либо эллипсом, либо пусто, либо вырождается в одну точку (это объясняет название, означающее «подобный эллипсу»). Он ограничен, что означает, что его можно заключить в достаточно большую сферу. Эллипсоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии, пересекающиеся в центре симметрии, называемом центром эллипсоида. Отрезки, отсекаемые эллипсоидом на осях симметрии, называются главными осями или просто осями эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, фигура является триаксиальным эллипсоидом (редко скаленным эллипсоидом), и оси определены однозначно. Если две оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид является эллипсоидом вращения, также называемым сфероидом. В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращения вокруг третьей оси, и, следовательно, существует бесконечно много способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид является сплюснутым сфероидом; если она длиннее, то это вытянутый сфероид. Если три оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид — это сфера.

Приблизительная формула

Здесь p ≈ 1.6075 даёт относительную ошибку не более 1.061%; значение оптимально для эллипсоидов, близких к сферическим, с относительной ошибкой не более 1.178%. В пределе "сплюснутости", когда c значительно меньше a и b, площадь приблизительно равна 2πab, что соответствует 1/p = log₂3 ≈ 1.5849625007.

Равные секции

Пересечение плоскости и сферы — это круг (или вырождается в одну точку, или является пустым множеством). Любой эллипсоид является образом единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость — образом некоторой другой плоскости при том же преобразовании. Следовательно, поскольку аффинные преобразования отображают окружности в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом, одной точкой или пустым множеством. Очевидно, сфероиды содержат окружности. Это также верно, но менее очевидно, для триаксиальных эллипсоидов (см. раздел «Круговое сечение»).

Конструкция из штифтов и шнуров

Конструкция эллипсоида с помощью штифтов и струны является перенесением идеи построения эллипса, использующей два штифта и струну (см. диаграмму). Конструкция эллипсоида вращения с помощью штифтов и струны получается из конструкции вращающегося эллипса. Построение точек трехосного эллипсоида более сложно. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 год). Основные исследования и обобщение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Стауде в 1882, 1886 и 1898 годах. Описание построения эллипсоидов и гиперболоидов с помощью штифтов и струны также содержится в книге "Геометрия и воображение" Д. Гильберта и С. Воссена.

Конверс

Если, наоборот, задан трехосный эллипсоид его уравнением, то из уравнений, полученных на шаге 3, можно вывести параметры a, b и l для конструкции из штифтов и нитей.

Предельный случай, эллипсоид оборота

В случае сфероида получаем и , что означает, что фокальный эллипс вырождается в отрезок прямой, а фокальная гипербола схлопывается в два бесконечных отрезка прямой на оси x. Эллипсоид обладает осевой симметрией относительно оси x и .

Свойство фокусного эллипса

Фокальный эллипс вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) семейства конфокальных эллипсоидов, определяемого параметрами a и b при rz → 0. В предельном случае получается

Стандартное уравнение

Гиперэллипсоид, или эллипсоид размерности *n* в евклидовом пространстве размерности *n*, является квадричной гиперповерхностью, определяемой многочленом второй степени, имеющим однородную часть второй степени, являющуюся положительно определенной квадратичной формой. Гиперэллипсоид также можно определить как образ сферы при обратимом аффинном преобразовании. Теорема о спектральном разложении снова может быть использована для получения стандартного уравнения вида

Объем *n*-мерного гиперэллипсоида можно получить, заменив Rⁿ произведением полуосей a₁a₂…aₙ в формуле для объема гиперсферы:

(где Γ — гамма-функция).

Динамика жидкостей

Эллипсоид – наиболее общая форма, для которой удалось рассчитать вязкотекущий поток жидкости вокруг твердого тела. Эти расчеты включают в себя силу, необходимую для перемещения тела сквозь жидкость и для его вращения в ней. Области применения включают определение размеров и формы крупных молекул, скорости осаждения мелких частиц и способность микроорганизмов к плаванию.

В вероятности и статистике

Эллиптические распределения, обобщающие многомерное нормальное распределение и используемые в финансах, могут быть определены через свои функции плотности. Если они существуют, функции плотности f имеют следующую структуру:

где k – масштабный фактор, 'x' – n-мерный случайный вектор-строка с медианным вектором 'μ' (который также является вектором математического ожидания, если таковое существует), 'Σ' – положительно определенная матрица, пропорциональная матрице ковариации, если последняя существует, а g – функция, отображающая неотрицательные действительные числа в неотрицательные действительные числа и имеющая конечную площадь под кривой. Многомерное нормальное распределение является частным случаем, когда для квадратичной формы z. Таким образом, функция плотности представляет собой скалярное преобразование квадратичного выражения. Более того, уравнение для любой изоплотной поверхности утверждает, что квадратичное выражение равно некоторой константе, специфичной для данного значения плотности, и сама изоплотная поверхность является эллипсоидом.