Кіріспе
Бір симметрия осі бар және симметрия орталығы жоқ квадраттық бет. Геометрияда параболоид – дәл бір симметрия осі және симметрия орталығы жоқ квадраттық бет. "Параболоид" термині параболадан туындаған, ол симметрияның ұқсас қасиетіне ие конустық қима. Параболоидтың симметрия осіне параллель жазықтықтағы кез келген қимасы парабола болып табылады. Параболоид гиперболалық болып есептеледі, егер кез келген басқа жазықтық қимасы гипербола немесе екі қиылысатын түзу болса (тиісті жазықтық қимасы жағдайында). Параболоид эллипстік болып есептеледі, егер кез келген басқа бос емес жазықтық қимасы эллипс немесе бір нүкте болса (тиісті жазықтықпен қима жағдайында). Параболоид эллипстік немесе гиперболалық болады. Балама ретінде, параболоидты цилиндр емес төртбұрышты бет ретінде анықтауға болады, оның екінші дәрежелі бөлігі күрделі сандарда екі түрлі сызықтық факторларға жіктелетін имплицитті теңдеуге ие. Егер факторлар нақты болса, параболоид гиперболалық болады; егер факторлар күрделі түйіндес болса, эллипстік. Эллипстік параболоид сопақша тәрізді пішінге ие және оның осі тік болғанда максималды немесе минималды нүктесі болады. Үш осьті x, y және z координаталар жүйесінде оны келесі теңдеумен көрсетуге болады:
In geometry, a paraboloid is a quadric surface that has exactly one axis of symmetry and no center of symmetry. The term "paraboloid" is derived from parabola, which refers to a conic section that has a similar property of symmetry. Every plane section of a paraboloid by a plane parallel to the axis of symmetry is a parabola. The paraboloid is hyperbolic if every other plane section is either a hyperbola, or two crossing lines (in the case of a section by a tangent plane). The paraboloid is elliptic if every other nonempty plane section is either an ellipse, or a single point (in the case of a section by a tangent plane). A paraboloid is either elliptic or hyperbolic. Equivalently, a paraboloid may be defined as a quadric surface that is not a cylinder, and has an implicit equation whose part of degree two may be factored over the complex numbers into two different linear factors. The paraboloid is hyperbolic if the factors are real; elliptic if the factors are complex conjugate. An elliptic paraboloid is shaped like an oval cup and has a maximum or minimum point when its axis is vertical. In a suitable coordinate system with three axes x, y, and z, it can be represented by the equation
where a and b are constants that dictate the level of curvature in the xz and yz planes respectively. In this position, the elliptic paraboloid opens upward. A hyperbolic paraboloid (not to be confused with a hyperboloid) is a doubly ruled surface shaped like a saddle. In a suitable coordinate system, a hyperbolic paraboloid can be represented by the equation
In this position, the hyperbolic paraboloid opens downward along the x axis and upward along the y axis (that is, the parabola in the plane opens upward and the parabola in the plane opens downward). Any paraboloid (elliptic or hyperbolic) is a translation surface, as it can be generated by a moving parabola directed by a second parabola.
мұнда a және b тұрақтылары xz және yz жазықтықтарындағы қисықтық деңгейін анықтайды. Бұл жағдайда эллипстік параболоид жоғары қарай ашылады. Гиперболалық параболоид (гиперболоидпен шатастырмау керек) – екі рет басқарылатын, еңкейген бет. Тиісті координаталар жүйесінде гиперболалық параболоидты келесі теңдеумен көрсетуге болады:
In geometry, a paraboloid is a quadric surface that has exactly one axis of symmetry and no center of symmetry. The term "paraboloid" is derived from parabola, which refers to a conic section that has a similar property of symmetry. Every plane section of a paraboloid by a plane parallel to the axis of symmetry is a parabola. The paraboloid is hyperbolic if every other plane section is either a hyperbola, or two crossing lines (in the case of a section by a tangent plane). The paraboloid is elliptic if every other nonempty plane section is either an ellipse, or a single point (in the case of a section by a tangent plane). A paraboloid is either elliptic or hyperbolic. Equivalently, a paraboloid may be defined as a quadric surface that is not a cylinder, and has an implicit equation whose part of degree two may be factored over the complex numbers into two different linear factors. The paraboloid is hyperbolic if the factors are real; elliptic if the factors are complex conjugate. An elliptic paraboloid is shaped like an oval cup and has a maximum or minimum point when its axis is vertical. In a suitable coordinate system with three axes x, y, and z, it can be represented by the equation
where a and b are constants that dictate the level of curvature in the xz and yz planes respectively. In this position, the elliptic paraboloid opens upward. A hyperbolic paraboloid (not to be confused with a hyperboloid) is a doubly ruled surface shaped like a saddle. In a suitable coordinate system, a hyperbolic paraboloid can be represented by the equation
In this position, the hyperbolic paraboloid opens downward along the x axis and upward along the y axis (that is, the parabola in the plane opens upward and the parabola in the plane opens downward). Any paraboloid (elliptic or hyperbolic) is a translation surface, as it can be generated by a moving parabola directed by a second parabola.
Бұл жағдайда гиперболалық параболоид x осі бойымен төмен қарай және y осі бойымен жоғары қарай ашылады (яғни, жазықтықтағы парабола жоғары қарай, ал жазықтықтағы парабола төмен қарай ашылады). Кез келген параболоид (эллипстік немесе гиперболалық) – ауысу беті, өйткені оны екінші парабола басқарған жылжымалы парабола тудыра алады.
In geometry, a paraboloid is a quadric surface that has exactly one axis of symmetry and no center of symmetry. The term "paraboloid" is derived from parabola, which refers to a conic section that has a similar property of symmetry. Every plane section of a paraboloid by a plane parallel to the axis of symmetry is a parabola. The paraboloid is hyperbolic if every other plane section is either a hyperbola, or two crossing lines (in the case of a section by a tangent plane). The paraboloid is elliptic if every other nonempty plane section is either an ellipse, or a single point (in the case of a section by a tangent plane). A paraboloid is either elliptic or hyperbolic. Equivalently, a paraboloid may be defined as a quadric surface that is not a cylinder, and has an implicit equation whose part of degree two may be factored over the complex numbers into two different linear factors. The paraboloid is hyperbolic if the factors are real; elliptic if the factors are complex conjugate. An elliptic paraboloid is shaped like an oval cup and has a maximum or minimum point when its axis is vertical. In a suitable coordinate system with three axes x, y, and z, it can be represented by the equation
where a and b are constants that dictate the level of curvature in the xz and yz planes respectively. In this position, the elliptic paraboloid opens upward. A hyperbolic paraboloid (not to be confused with a hyperboloid) is a doubly ruled surface shaped like a saddle. In a suitable coordinate system, a hyperbolic paraboloid can be represented by the equation
In this position, the hyperbolic paraboloid opens downward along the x axis and upward along the y axis (that is, the parabola in the plane opens upward and the parabola in the plane opens downward). Any paraboloid (elliptic or hyperbolic) is a translation surface, as it can be generated by a moving parabola directed by a second parabola.
Параболалық шағылыстырғыш
Дөңгелек параболоидтың осінде фокус (немесе ошақ нүктесі) деп аталатын нүкте болады, егер параболоид айна болса, онда ошақтағы нүктелік көзден шыққан жарық (немесе басқа толқындар) параболоид осіне параллель түзу шоққа шағылысады. Бұл қағида кері де жұмыс істейді: параболоид осіне параллель жарық шоғы ошақ нүктесінде шоғырланады. Дәлелдемесін қараңыз: Сондықтан, дөңгелек параболоид пішіні астрономияда параболалық рефлекторлар мен параболалық антенналар жасауда кеңінен қолданылады. Айналатын сұйықтықтың беті де дөңгелек параболоид болып табылады. Бұл сұйық айна телескоптарында және қатты телескоп айналарын жасауда қолданылады (айналдыратын пешті қараңыз).
Therefore, the shape of a circular paraboloid is widely used in astronomy for parabolic reflectors and parabolic antennas. The surface of a rotating liquid is also a circular paraboloid. This is used in liquid mirror telescopes and in making solid telescope mirrors (see rotating furnace).