Введение

Квадрическая поверхность с одной осью симметрии и без центра симметрии

В геометрии параболоид — это квадрическая поверхность, обладающая ровно одной осью симметрии и не имеющая центра симметрии. Термин "параболоид" происходит от "параболы", конического сечения, обладающего аналогичным свойством симметрии. Любое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если любое другое плоское сечение представляет собой либо гиперболу, либо две пересекающиеся прямые (в случае сечения тангенциальной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое плоское сечение представляет собой либо эллипс, либо единственную точку (в случае сечения тангенциальной плоскостью). Параболоид может быть либо эллиптическим, либо гиперболическим. Эквивалентно, параболоид можно определить как квадрическую поверхность, не являющуюся цилиндром, и имеющую неявное уравнение, часть второй степени которого может быть разложена над комплексными числами на два различных линейных множителя. Параболоид является гиперболическим, если множители действительны; эллиптическим, если множители являются комплексно сопряжёнными. Эллиптический параболоид имеет форму овальной чаши и содержит точку максимума или минимума при вертикальном расположении его оси. В подходящей системе координат с тремя осями x, y и z он может быть представлен уравнением

где a и b — константы, определяющие степень кривизны в плоскостях xz и yz соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх. Гиперболический параболоид (не следует путать с гиперболоидом) — это поверхность двойного линейчатого типа, имеющая форму седла. В подходящей системе координат гиперболический параболоид может быть представлен уравнением

В этом положении гиперболический параболоид открывается вниз по оси x и вверх по оси y (то есть парабола в плоскости открывается вверх, а парабола в плоскости открывается вниз). Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью трансляции, поскольку он может быть сгенерирован движущейся параболой, направляемой другой параболой.

Параболический отражатель

На оси круглого параболоида находится точка, называемая фокусом (или фокальной точкой), такая, что если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника, расположенного в фокусе, отражается в параллельный пучок, параллельный оси параболоида. Это работает и в обратном направлении: параллельный пучок света, параллельный оси параболоида, фокусируется в фокальной точке. Доказательство можно найти [здесь/в источнике].

Поэтому форма круглого параболоида широко используется в астрономии для параболических отражателей и параболических антенн. Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круговой параболоид. Это используется в жидкостных зеркальных телескопах и при изготовлении твердых зеркал телескопов (см. вращающаяся печь).