Введение

Топологический инвариант в математике
Эйлерово характеристическое число
В математике, и в особенности в алгебраической топологии и полиэдрической комбинаторике, эйлерова характеристика (или эйлерово число, или характеристика Эйлера — Пуанкаре) является топологическим инвариантом, числом, описывающим форму или структуру топологического пространства независимо от способа его деформации. Обычно обозначается χ (греческая строчная буква хи). Эйлерова характеристика была первоначально определена для многогранников и использовалась для доказательства различных теорем о них, включая классификацию платоновых тел. Она была сформулирована для платоновых тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико. Леонард Эйлер, в честь которого названо это понятие, ввёл её для выпуклых многогранников в более общем виде, но не смог строго доказать, что она является инвариантом. В современной математике эйлерова характеристика возникает из гомологии и, в более абстрактном смысле, из гомологической алгебры.

Графики плоскости

Характеристика Эйлера может быть определена для связных планарных графов по той же формуле, что и для полиэдрических поверхностей, где F — число граней в графе, включая внешнюю грань. Характеристика Эйлера любого связного планарного графа G равна 2. Это легко доказывается индукцией по числу граней, определяемых графом G, начиная с дерева в качестве базового случая. Для деревьев, и если граф G имеет C компонент связности (несвязных графов), тот же аргумент, основанный на индукции по F, показывает, что . Одна из немногих работ Коши по теории графов также доказывает этот результат. С помощью стереографической проекции плоскость отображается на 2-сферу, так что связный граф отображается в полигональное разбиение сферы, имеющей характеристику Эйлера 2. Эта точка зрения неявно присутствует в доказательстве Коши формулы Эйлера, приведенном ниже.

Альтернативный номер Бетти

Более общим образом, для любого топологического пространства мы можем определить n-е число Бетти bn как ранг n-й группы сингулярных гомологий. Эйлерову характеристику можно тогда определить как попеременную сумму

Эта величина корректно определена, если все числа Бетти конечны и равны нулю при индексах, больших некоторого n0. Для симплициальных комплексов это определение не совпадает с определением из предыдущего абзаца, но вычисление гомологий показывает, что оба определения дают одно и то же значение для .

Свойства

Характеристика Эйлера хорошо сохраняется при многих основных операциях над топологическими пространствами, а именно:

Инвариантность гомотопии

Гомология является топологическим инвариантом, и более того, инвариантом гомотопии: два топологических пространства, гомотопически эквивалентные друг другу, имеют изоморфные группы гомологии. Следовательно, эйлерова характеристика также является инвариантом гомотопии. Например, любое стягиваемое пространство (то есть пространство, гомотопически эквивалентное точке) имеет тривиальную гомологию, что означает, что нулевое число Бетти равно 1, а остальные – 0. Поэтому его эйлерова характеристика равна 1. Этот случай включает в себя евклидово пространство любой размерности, а также сплошной единичный шар в любом евклидовом пространстве – одномерный интервал, двумерный диск, трехмерный шар и так далее. В качестве другого примера, любой выпуклый многогранник гомеоморфен трехмерному шару, следовательно, его поверхность гомеоморфна (а значит, гомотопически эквивалентна) двумерной сфере, которая имеет эйлерову характеристику 2. Это объясняет, почему выпуклые многогранники имеют эйлерову характеристику 2.

Поверхности

Характеристика Эйлера может быть легко вычислена для общих поверхностей путем нахождения полигонизации поверхности (то есть описания как CW-комплекса) и использования вышеуказанных определений. НазваниеИзображениеχ Интервал1Круг0Диск1Сфера2Тор (Произведение двух окружностей)0Двойной тор−2Тройной тор−4Реальная проективная плоскость1Полоса Мёбиуса0Бутылка Клейна0Две сферы (не связанные) (Разъединенное объединение двух сфер) 2 + 2 = 4Три сферы (не связанные) (Разъединенное объединение трех сфер) 2 + 2 + 2 = 6 сфер (не связанные) (Разъединенное объединение n сфер). . .

Футбольный мяч

Обычно футбольные мячи изготавливают, сшивая вместе пятиугольные и шестиугольные элементы, при этом три элемента сходятся в каждой вершине (например, Adidas Telstar). Если используется P пятиугольников и H шестиугольников, то количество граней, вершин и ребер будет равно соответственно. Таким образом, характеристика Эйлера равна:

Поскольку сфера имеет характеристику Эйлера, равную 2, следует, что. То есть, футбольный мяч, построенный таким образом, всегда содержит 12 пятиугольников. Количество шестиугольников может быть любым неотрицательным целым числом, кроме 1. Этот результат применим к фуллеренам и полиэдрам Гольдберга.

Обобщения

Для каждого комбинаторного клеточного комплекса характеристикой Эйлера определяется число 0-клеток, минус число 1-клеток, плюс число 2-клеток и т. д., если эта чередующаяся сумма конечна. В частности, характеристикой Эйлера конечного множества является просто его кардинальность, а характеристикой Эйлера графа – число вершин минус число ребер. (Олаф Пост называет это «известной формулой».) В более общем случае, можно определить характеристику Эйлера любого цепного комплекса как чередующуюся сумму рангов гомологических групп этого цепного комплекса, при условии, что все эти ранги конечны. Версия характеристики Эйлера, используемая в алгебраической геометрии, следующая. Для любого когерентного пучка на правильной схеме X его характеристику Эйлера можно определить как

где – размерность i-й группы когомологий пучка. В этом случае все размерности конечны по теореме о конечности Гротендика. Это пример эйлеровой характеристики цепного комплекса, где цепной комплекс является конечным разрешением ациклическими пучками. Другое обобщение понятия характеристики Эйлера для многообразий исходит из орбифолдов (см. характеристика Эйлера орбифолда). В то время как каждое многообразие имеет целочисленную характеристику Эйлера, орбифолд может иметь дробную характеристику Эйлера. Например, орбифолд в форме капли имеет характеристику Эйлера , где p – простое число, соответствующее углу конуса. Концепция характеристики Эйлера редуцированной гомологии ограниченного конечного частично упорядоченного множества (poset) является другим обобщением, важным в комбинаторике. Посвод называется «ограниченным», если он имеет наименьший и наибольший элементы; обозначим их 0 и 1. Характеристика Эйлера такого посвода определяется как целое число μ(0, 1), где μ – функция Мёбиуса в алгебре инцидентности этого посвода. Это можно еще больше обобщить, определив рациональнозначную характеристику Эйлера для определенных конечных категорий, понятие, совместимое с характеристиками Эйлера графов, орбифолдов и посводов, упомянутых выше. В этом контексте характеристика Эйлера конечной группы или моноида G равна , а характеристика Эйлера конечного группоида равна сумме , где мы выбрали одно представительное для группы G для каждой связной компоненты группоида.