Кіріспе
Үшбұрышты теңбұрышты үшбұрышты етіп айналдырудың 2 нүктесі Евклид геометриясында үшбұрыштың изодинамикалық нүктелері үшбұрыштымен байланысты нүктелер болып табылады, бұл нүктелердің бірінде орталықталған инверсия берілген үшбұрышты теңбұрышты үшбұрышты етіп өзгертеді және изодинамикалық нүктеден үшбұрыштың ұштарындағы қашықтықтар үшбұрыштың қарама-қарсы жақтарының ұзындығына кері пропорционал болады. Бір-біріне ұқсас үшбұрыштардың жазықтықтағы сәйкес орындарында изодинамикалық нүктелері болады, сондықтан изодинамикалық нүктелер үшбұрыштың орталықтары болып табылады, ал басқа үшбұрыштың орталықтарынан айырмашылығы, изодинамикалық нүктелер Мёбиус түрлендірулері кезінде де өзгермелі болады. Өзінің тең жақты үшбұрышының ортасында (оның орфоортасында, орфоортасында және айналасында) бірегей изодинамикалық нүкте бар; әрбір тең жақты емес үшбұрыштың екі изодинамикалық нүктесі бар. Изодинамикалық нүктелерді алғаш рет зерттеген және атаған:
In Euclidean geometry, the isodynamic points of a triangle are points associated with the triangle, with the properties that an inversion centered at one of these points transforms the given triangle into an equilateral triangle, and that the distances from the isodynamic point to the triangle vertices are inversely proportional to the opposite side lengths of the triangle. Triangles that are similar to each other have isodynamic points in corresponding locations in the plane, so the isodynamic points are triangle centers, and unlike other triangle centers the isodynamic points are also invariant under Möbius transformations. A triangle that is itself equilateral has a unique isodynamic point, at its centroid(as well as its orthocenter, its incenter, and its circumcenter, which are concurrent); every non equilateral triangle has two isodynamic points. Isodynamic points were first studied and named by .
Қашықтық қатынастары
Изодинамикалық нүктелер бастапқыда нүктелер жұптары арасындағы арақашықтықтардың белгілі бір қатынас теңдіктері (немесе баламалы түрде өнімдері) арқылы анықталды. Егер және үшбұрыштың изодинамикалық нүктелері болса, онда үш арақашықтық көбейтіндісі тең. Анологтық теңдіктер, сондай-ақ, көбейтінді формуласына сәйкес, арақашықтықтар үшін қолданылады және сәйкес келетін үшбұрыштың жақтары ұзындығына кері пропорционалды және және үшбұрыштың үш шеңберінің ортақ қиылысу нүктелері болып табылады. Әрқайсысы үшбұрыштың бір ұшынан өтеді және басқа екі ұшындағы арақашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтайды. Жалпы алғанда, изодинамикалық нүктелер Мёбиус түрлендірулері бойынша эквивариант болып табылады: түрлендірудің реттелмеген изодинамикалық нүктелер жұбында қолданылатын бірдей түрлендіруге тең. Жеке изодинамикалық нүктелер Мёбиус түрлендірулерімен бекітіледі, олар айналма үшбұрыштың айналмасының ішкі бөлігін айналманың ішкі бөлігіне карталайды және айналманың ішкі және сыртқы бөлігін айырбастайтын түрлендірулермен ауыстырылады. Үшбұрыштың ұштарымен бірінші изодинамикалық нүкте қалыптастырған бұрыштар теңдеулерді қанағаттандырады және ұқсас түрде екінші изодинамикалық нүкте қалыптастырған бұрыштар теңдеулерді қанағаттандырады және үшбұрыштың әр жағында шағылысу арқылы қалыптастырылған үшбұрышты қанағаттандырады. Үшбұрышта жазылған барлық теңбұрышты үшбұрыштардың ішінде бірінші изодинамикалық нүктесінің педальді үшбұрышы ең аз ауданы бар.
and are the common intersection points of the three circles of Apollonius associated with triangle of a triangle the three circles that each pass through one vertex of the triangle and maintain a constant ratio of distances to the other two vertices. More generally, the isodynamic points are equivariant under Möbius transformations: the unordered pair of isodynamic points of a transformation of is equal to the same transformation applied to the pair The individual isodynamic points are fixed by Möbius transformations that map the interior of the circumcircle of to the interior of the circumcircle of the transformed triangle, and swapped by transformations that exchange the interior and exterior of the circumcircle. The angles formed by the first isodynamic point with the triangle vertices satisfy the equations and Analogously, the angles formed by the second isodynamic point satisfy the equations and as is the triangle formed by reflecting across each side of the triangle. Among all the equilateral triangles inscribed in triangle the pedal triangle of the first isodynamic point is the one with minimum area.