Введение
2 точки, вокруг которых треугольник может быть перевернут в равносторонний треугольник В евклидовой геометрии изодинамические точки треугольника - это точки, связанные с треугольником, с свойствами, что инверсия, сосредоточенная в одной из этих точек, преобразует данный треугольник в равносторонний треугольник, и что расстояния от изодинамической точки до вершин треугольника обратно пропорциональны длинам противоположных сторон треугольника. Треугольники, которые похожи друг на друга, имеют изодинамические точки в соответствующих местах в плоскости, поэтому изодинамические точки являются центрами треугольника, и в отличие от других центров треугольника изодинамические точки также инвариантны при преобразованиях Мёбиуса. Треугольник, который сам по себе равносторонний, имеет уникальную изодинамическую точку в своем центре, а также в своем ортоцентре, инцентре и окружном центре, которые являются параллельными; каждый неравносторонний треугольник имеет две изодинамические точки. Изодинамические точки были впервые изучены и названы .
In Euclidean geometry, the isodynamic points of a triangle are points associated with the triangle, with the properties that an inversion centered at one of these points transforms the given triangle into an equilateral triangle, and that the distances from the isodynamic point to the triangle vertices are inversely proportional to the opposite side lengths of the triangle. Triangles that are similar to each other have isodynamic points in corresponding locations in the plane, so the isodynamic points are triangle centers, and unlike other triangle centers the isodynamic points are also invariant under Möbius transformations. A triangle that is itself equilateral has a unique isodynamic point, at its centroid(as well as its orthocenter, its incenter, and its circumcenter, which are concurrent); every non equilateral triangle has two isodynamic points. Isodynamic points were first studied and named by .
Отношения расстояний
Изодинамические точки изначально определялись из определенных равенств соотношений (или эквивалентно произведений) расстояний между парами точек. Если и являются изодинамическими точками треугольника, то три произведения расстояний равны. Аналогичные уравнения также имеют значение для равновесного выражения произведения, расстояния и обратно пропорциональны соответствующим длинам сторон треугольника и и являются общими точками пересечения трех окружностей Аполлония, связанных с треугольником треугольника, трех окружностей, каждая из которых проходит через одну вершину треугольника и поддерживает постоянное отношение расстояний к другим двум вершинам. Более общим образом, изодинамические точки эквивариантны при преобразованиях Мёбиуса: не упорядоченная пара изодинамических точек преобразования равна той же преобразованию, которая применяется к паре Индивидуальные изодинамические точки фиксируются преобразованиями Мёбиуса, которые отображают внутреннюю часть окружности преобразованного треугольника, и заменяются преобразованиями, которые обмениваются внутренней и внешней сторонами окружности. Угол, образованный первой изодинамической точкой с вершинами треугольника, удовлетворяет уравнениям и аналогично, угол, образованный второй изодинамической точкой, удовлетворяет уравнениям, как и треугольник, образованный отражением по каждой стороне треугольника. Среди всех равносторонних треугольников, вписанных в треугольник, треугольник педали первой изодинамической точки является тем, у которого минимальная площадь.
and are the common intersection points of the three circles of Apollonius associated with triangle of a triangle the three circles that each pass through one vertex of the triangle and maintain a constant ratio of distances to the other two vertices. More generally, the isodynamic points are equivariant under Möbius transformations: the unordered pair of isodynamic points of a transformation of is equal to the same transformation applied to the pair The individual isodynamic points are fixed by Möbius transformations that map the interior of the circumcircle of to the interior of the circumcircle of the transformed triangle, and swapped by transformations that exchange the interior and exterior of the circumcircle. The angles formed by the first isodynamic point with the triangle vertices satisfy the equations and Analogously, the angles formed by the second isodynamic point satisfy the equations and as is the triangle formed by reflecting across each side of the triangle. Among all the equilateral triangles inscribed in triangle the pedal triangle of the first isodynamic point is the one with minimum area.