Кіріспе
Егер G - n дәрежесі бар шекті жасалған топ болса, G міндетті түрде шекті болады ма? Бернсайд мәселесі, әрбір элементі шекті ретке ие шекті жасалған топтың міндетті түрде шекті топ болуы керек пе деген сұрақ қояды. Бұл мәселені 1902 жылы Уильям Бернсайд қойған, осылайша ол топтар теориясындағы ең көне мәселелердің біріне айналды және комбинаторлық топтар теориясының дамуына әсер етті. Жалпы жағдайда осы мәселеге теріс жауап берілгені белгілі, себебі Евгений Голод пен Игорь Шафаревич 1964 жылы кері мысал келтірді. Мәселенің көптеген түрлендірілген және варианттары бар, олар топ элементтерінің ретіне қойылатын қосымша талаптармен ерекшеленеді (төмендегі шектеулі және шектелген нұсқаларын қараңыз). Осы варианттардың кейбіреуі әлі де ашық мәселе болып қалуда.
Қысқаша тарихы
Алғашқы зерттеулер оң жауапқа ишарат етті. Мысалы, егер G тобы шекті түрде туындырылса және G-нің әрбір элементінің реті 4-тің бөлгіші болса, онда G шекті болады. Бұдан басқа, А. И. Кострикин 1958 жылы белгілі бір генераторлар саны және белгілі бір негізгі экспонентасы бар шекті топтардың арасында ең үлкенінің бар екенін дәлелдеді. Бұл жағдайда бірінші экспоненталы Бернсайд мәселесі шешілді. (Кейін, 1989 жылы Ефим Зельманов кез келген экспонента үшін шектелген Бернсайд мәселесін шеше алды.) 1911 жылы Иссай Шур көрсеткендей, кез келген шекті түрде туындырылған, кезеңдік топ, егер ол инвертирленетін n × n кешенді матрицалар тобының кіші тобы болса, шекті болады; ол бұл теореманы Джордан-Шур теоремасын дәлелдеу үшін пайдаланды. Дегенмен, Бернсайд мәселесіне жалпы жауап теріс болып шықты. 1964 жылы Голод пен Шафаревич барлық элементтерінің біркелкі шектелген реті болмаса, Бернсайд типіндегі шексіз топты құрастырды. 1968 жылы Пётр Новиков пен Сергей Адиан 4381-ден үлкен барлық тақ экспоненталар үшін шектелген экспонента мәселесіне теріс жауап берді, кейіннен Адиан бұл көрсеткішті 665-тен үлкен тақ экспонентаға дейін жақсартты, ал ең жақсы тақ сан көрсеткіші 101-ге тең, бұл да Адианның еңбегі. 1982 жылы А. Ю. Олшанский жеткілікті үлкен (1010-нан үлкен) тақ экспоненталар үшін айқын қарсы мысалдарды тапты және геометриялық идеяларға негізделген әлдеқайда қарапайым дәлел ұсынды. Жұп экспоненталардың жағдайы шешу үшін әлдеқайда қиын болып шықты. 1992 жылы С. В. Иванов жеткілікті үлкен жұп экспоненталар үшін, 2-нің үлкен дәрежесіне бөлінетін теріс жауапты жариялады (толыққанды дәлелдемелер 1994 жылы жарияланды және шамамен 300 беттен тұрды). Кейіннен Олшанский мен Ивановтың бірлескен жұмысы гиперболалық топтар үшін Бернсайд мәселесінің аналогына теріс жауапты анықтады, экспонента жеткілікті үлкен болған жағдайда. Керісінше, экспонента кішкентай болса және 2, 3, 4 және 6-дан өзгеше болса, онда өте аз мәлімет белгілі.
Жалпы Бернсайд проблемасы
G тобының әрбір элементі шекті реттілікке ие болса, G тобы мерзімді (немесе бұрылыстық) деп аталады; яғни, G-дегі әрбір g үшін, gn = 1 болатын бір оң бүтін сан n табылады. Әрине, әрбір шекті топ мерзімді болады. P∞ тобы сияқты оңай анықталатын топтар бар, олар шексіз мерзімді топтар; бірақ бұл топты шекті түрде жасау мүмкін емес. Жалпы Бёрнсайд мәселесі. Егер G тобы шекті түрде жасалған, мерзімді топ болса, онда G міндетті түрде шекті болады ма? Бұл сұраққа 1964 жылы Евгений Голод пен Игорь Шафаревич теріс жауап берді, олар шекті түрде жасалған шексіз p тобының мысалын келтірді (Голод-Шафаревич теоремасын қараңыз). Дегенмен, осы топтың элементтерінің реті алдын ала бір тұрақтымен шектелмейді.
Шектелген Бернсайд проблемасы
Жалпы Бернсайд проблемасының бір қиындығы – шекті түрде жасалған және периодты болу талаптары топтың мүмкін құрылымы туралы өте аз ақпарат береді. Сондықтан G-ге қосымша талаптар қоямыз. G-дегі барлық g үшін gn = 1 болатын ең кіші n бүтін саны бар деген қосымша қасиетке ие G тобын қарастырайық. Мұндай қасиетке ие топ n шектелген экспонентімен периодты деп аталады, немесе жай ғана n экспоненті бар топ. Шектелген экспоненті бар топтар үшін Бернсайд проблемасы: Бернсайд проблемасы I. Егер G – n экспоненті бар шекті түрде жасалған топ болса, G міндетті түрде шекті ме? Бұл мәселені белгілі бір отбасындағы топтардың шектілігі туралы сұрақ ретінде қайта формулиреуге болады. Рангы m және экспоненті n еркін Бернсайд тобы, B(m, n) деп белгіленеді, m ерекше генераторлары бар топ x1, ..., xm, онда xn = 1 тепе-теңдігі барлық элементтер x үшін орындалады және бұл осы талаптарды қанағаттандыратын «ең үлкен» топ. Нақтырақ айтқанда, B(m, n) тобының сипаттамалық қасиеті – кез келген топ G-ге m генераторлары g1, ..., gm және n экспоненті берілген болса, B(m, n) тобынан G тобына бірегей гомоморфизм болады, ол B(m, n) тобының i-інші генераторы xi-ді G тобының i-інші генераторы gi-ге бейнелейді. Топтық ұсыныстар тілінде, еркін Бернсайд тобы B(m, n) m генераторлары x1, ..., xm және x1, ..., xm-дегі әрбір x сөзі үшін xn = 1 қатынастарын қамтиды, ал n экспонентінің m генераторлары бар кез келген G тобы одан қосымша қатынастарды қою арқылы алынады. Еркін Бернсайд тобының бар екендігі және изоморфизмге дейін бірегейлігі топтар теориясының стандартты әдістерімен орнатылады. Осылайша, егер G – n экспонентінің кез келген шекті түрде жасалған тобы болса, онда G – B(m, n) тобының гомоморфты бейнесі, мұндағы m – G тобының генераторларының саны. Бернсайд проблемасын енді келесідей қайта формулиреуге болады: Бернсайд проблемасы II. Қай оң бүтін сандар m, n үшін еркін Бернсайд тобы B(m, n) шекті? Бұл формадағы Бернсайд проблемасының толық шешімі белгісіз. Бернсайд өзінің бастапқы мақаласында бірнеше оңай жағдайларды қарастырды: B(1, n) – n реттік циклдік топ. B(m, 2) – 2 реттік циклдік топтың m көшірмелерінің тікелей көбейтіндісі, сондықтан шекті. Келесі қосымша нәтижелер белгілі (Бернсайд, Санов, М. Холл): B(m, 3), B(m, 4) және B(m, 6) барлық m үшін шекті. B(2, 5) ерекше жағдайы ашық болып қала береді: 2020 жылға дейін бұл топтың шекті екендігі белгісіз болды. Бернсайд проблемасын шешудегі маңызды қадамды 1968 жылы Петр Новиков пен Сергей Адиан жасады. Күрделі комбинаторлық аргументті пайдаланып, олар n > 4381 болатын әрбір тақ сан үшін n экспонентінің шексіз, шекті түрде жасалған топтары бар екенін көрсетті. Кейіннен Адиан тақ экспоненттің шегін 665-ке дейін жақсартты. Адианның өзі 2015 жылы алған соңғы жақсарту – 101. Жұп экспоненттің жағдайы әлдеқайда қиын болып шықты. Тек 1994 жылы Сергей Васильевич Иванов Новиков-Адиан теоремасының аналогын дәлелдеді: кез келген m > 1 және n ≥ 248, n саны 29-ға бөлінетін жағдайда, B(m, n) тобы шексіз; Новиков-Адиан теоремасымен бірге, бұл барлық m > 1 және n ≥ 248 үшін шексіздікті білдіреді. Бұл 1996 жылы И. Г. Лысенокпен m > 1 және n ≥ 8000-ға дейін жақсартылды. Новиков-Адиан, Иванов және Лысенок еркін Бернсайд топтарының құрылымы туралы айтарлықтай нақты нәтижелер алды. Тақ экспоненттің жағдайында, еркін Бернсайд топтарының барлық шекті кіші топтары циклдік топтар болып табылады. Жұп экспоненттің жағдайында, әрбір шекті кіші топ екі диэдрлік топтың көбейтіндісінде орналасқан, және циклдік емес шекті кіші топтар бар. Сонымен қатар, сөз және конъюгация проблемалары B(m, n) тобында, жұп және тақ экспоненттер үшін де тиімді шешілетіндігі көрсетілді. Бернсайд проблемасына қарсы мысалдардың белгілі класы – шекті түрде жасалған, циклдік емес шексіз топтар, олардың әрбір тривиалды емес меншікті кіші тобы шекті циклдік топ болып табылады, оларды «Тарски монстрлары» деп атайды. Мұндай топтардың алғашқы мысалдары 1979 жылы А. Ю. Олшанский геометриялық әдістерді қолдана отырып жасады, соның арқасында О. Ю. Шмидт мәселесі шешілді. 1982 жылы Ольшанский өзінің нәтижелерін күшейтіп, кез келген жеткілікті үлкен алғашқы сан p (мысалы, p > 1075) үшін шекті түрде жасалған шексіз топтың бар екенін дәлелдеді, онда әрбір тривиалды емес меншікті кіші топ p реттік циклдік топ болып табылады. 1996 жылы жарияланған мақалада Иванов пен Ольшанский жеткілікті үлкен экспоненттер үшін кездейсоқ гиперболалық топта Бернсайд проблемасының аналогын шешті.
Burnside problem I. If G is a finitely generated group with exponent n, is G necessarily finite? It turns out that this problem can be restated as a question about the finiteness of groups in a particular family. The free Burnside group of rank m and exponent n, denoted B(m, n), is a group with m distinguished generators x1, , xm in which the identity xn = 1 holds for all elements x, and which is the "largest" group satisfying these requirements. More precisely, the characteristic property of B(m, n) is that, given any group G with m generators g1, , gm and of exponent n, there is a unique homomorphism from B(m, n) to G that maps the ith generator xi of B(m, n) into the ith generator gi of G. In the language of group presentations, the free Burnside group B(m, n) has m generators x1, , xm and the relations xn = 1 for each word x in x1, , xm, and any group G with m generators of exponent n is obtained from it by imposing additional relations. The existence of the free Burnside group and its uniqueness up to an isomorphism are established by standard techniques of group theory. Thus if G is any finitely generated group of exponent n, then G is a homomorphic image of B(m, n), where m is the number of generators of G. The Burnside problem can now be restated as follows:
Burnside problem II. For which positive integers m, n is the free Burnside group B(m, n) finite? The full solution to Burnside problem in this form is not known. Burnside considered some easy cases in his original paper:
B(1, n) is the cyclic group of order n.
B(m, 2) is the direct product of m copies of the cyclic group of order 2 and hence finite. The following additional results are known (Burnside, Sanov, M. Hall):
B(m, 3), B(m, 4), and B(m, 6) are finite for all m.
The particular case of B(2, 5) remains open: as of 2020 it was not known whether this group is finite. The breakthrough in solving the Burnside problem was achieved by Pyotr Novikov and Sergei Adian in 1968. Using a complicated combinatorial argument, they demonstrated that for every odd number n with n > 4381, there exist infinite, finitely generated groups of exponent n. Adian later improved the bound on the odd exponent to 665. The latest improvement to the bound on odd exponent is 101 obtained by Adian himself in 2015. The case of even exponent turned out to be considerably more difficult. It was only in 1994 that Sergei Vasilievich Ivanov was able to prove an analogue of Novikov–Adian theorem: for any m > 1 and an even n ≥ 248, n divisible by 29, the group B(m, n) is infinite; together with the Novikov–Adian theorem, this implies infiniteness for all m > 1 and n ≥ 248. This was improved in 1996 by I. G. Lysënok to m > 1 and n ≥ 8000. Novikov–Adian, Ivanov and Lysënok established considerably more precise results on the structure of the free Burnside groups. In the case of the odd exponent, all finite subgroups of the free Burnside groups were shown to be cyclic groups. In the even exponent case, each finite subgroup is contained in a product of two dihedral groups, and there exist non cyclic finite subgroups. Moreover, the word and conjugacy problems were shown to be effectively solvable in B(m, n) both for the cases of odd and even exponents n.
A famous class of counterexamples to the Burnside problem is formed by finitely generated non cyclic infinite groups in which every nontrivial proper subgroup is a finite cyclic group, the so called Tarski Monsters. First examples of such groups were constructed by A. Yu. Ol'shanskii in 1979 using geometric methods, thus affirmatively solving O. Yu. Schmidt's problem. In 1982 Ol'shanskii was able to strengthen his results to establish existence, for any sufficiently large prime number p (one can take p > 1075) of a finitely generated infinite group in which every nontrivial proper subgroup is a cyclic group of order p. In a paper published in 1996, Ivanov and Ol'shanskii solved an analogue of the Burnside problem in an arbitrary hyperbolic group for sufficiently large exponents.