Введение

Если G — конечно порождённая группа с показателем n, то обязательно ли G конечна? Проблема Бернсайда спрашивает, должна ли конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, быть конечной группой. Она была сформулирована Уильямом Бернсайдом в 1902 году, что делает её одним из старейших вопросов в теории групп и оказала значительное влияние на развитие комбинаторной теории групп. Известно, что в общем случае ответ отрицательный, поскольку Евгений Голод и Игорь Шафаревич привели контрпример в 1964 году. Проблема имеет множество уточнений и вариантов, различающихся дополнительными условиями, налагаемыми на порядки элементов группы (см. разделы «Ограниченные» и «Ограниченные» ниже). Некоторые из этих вариантов остаются нерешёнными и по сей день.

Краткая история

Первоначальные работы указывали на положительный ответ. Например, если группа G конечно порождена и порядок каждого элемента G является делителем 4, то G конечна. Более того, А. И. Кострикин в 1958 году доказал, что среди конечных групп с заданным числом образующих и заданным простым показателем существует наибольшая. Это даёт решение ограниченной проблемы Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 году, Эфиму Зельманову удалось решить ограниченную проблему Бернсайда для произвольного показателя.) Иссай Шур в 1911 году показал, что любая конечно порожденная периодическая группа, являющаяся подгруппой группы обратимых n × n комплексных матриц, конечна; он использовал эту теорему для доказательства теоремы Иордана — Шура. Тем не менее, общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бернсайда, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Петр Новиков и Сергей Адиан получили отрицательное решение задачи об ограниченном показателе для всех нечетных показателей, больших 4381, которое позже было улучшено Адианом до нечетного показателя, большего 665, а наилучшая оценка для нечетного показателя — 101, также получена Адианом. В 1982 году А. Ю. Ольшанский нашёл ряд поразительных контрпримеров для достаточно больших нечетных показателей (больше 1010) и предоставил значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях. Случай четных показателей оказался гораздо сложнее. В 1992 году С. В. Иванов объявил об отрицательном решении для достаточно больших четных показателей, делящихся на большую степень 2 (подробные доказательства были опубликованы в 1994 году и занимали около 300 страниц). Позднее совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболических групп, при условии, что показатель достаточно велик. Напротив, когда показатель мал и отличен от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.

Проблема генерала Бёрнсайд

Группа G называется периодической (или торсионной), если каждый её элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого g из G существует некоторое положительное целое число n, такое что g^n = 1. Очевидно, что каждая конечная группа периодична. Существуют легко определяемые группы, такие как группа p∞, которые являются бесконечными периодическими группами; однако последняя группа не может быть конечно порождена. Общая проблема Бернсайда. Если G – конечно порожденная периодическая группа, то G обязательно конечна? На этот вопрос в 1964 году Евгений Голод и Игорь Шафаревич ответили отрицательно, приведя пример бесконечной p-группы, которая конечно порождена (см. теорему Голода — Шафаревича). Однако порядки элементов этой группы не ограничены априори одной константой.

Ограниченная проблема Бернсайд

Часть трудностей с общей проблемой Бернсайда заключается в том, что требования конечности порождающих и периодичности дают очень мало информации о возможной структуре группы. Поэтому мы предъявляем более строгие требования к G. Рассмотрим периодическую группу G с дополнительным свойством, что существует наименьшее целое число n, такое, что для всех g из G, gn = 1. Группа с этим свойством называется периодической с ограниченным показателем n, или просто группой с показателем n. Проблема Бернсайда для групп с ограниченным показателем формулируется следующим образом:

Проблема Бернсайда I. Если G – конечно порожденная группа с показателем n, то обязательно ли G конечна? Оказывается, что эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в конкретной семье. Свободная группа Бернсайда ранга m и показателя n, обозначаемая B(m, n), – это группа с m различными образующими x1, …, xm, в которой тождество xn = 1 выполняется для всех элементов x и которая является «наибольшей» группой, удовлетворяющей этим требованиям. Более точно, характеристическое свойство B(m, n) заключается в том, что для любой группы G с m образующими g1, …, gm и показателем n существует единственный гомоморфизм из B(m, n) в G, отображающий i-го образующего xi из B(m, n) в i-го образующего gi из G. На языке групповых представлений свободная группа Бернсайда B(m, n) имеет m образующих x1, …, xm и соотношения xn = 1 для каждого слова x в x1, …, xm, и любая группа G с m образующими и показателем n получается из нее путем наложения дополнительных соотношений. Существование свободной группы Бернсайда и ее уникальность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом, если G – любая конечно порожденная группа показателя n, то G является гомоморфным образом B(m, n), где m – число образующих G. Проблему Бернсайда теперь можно переформулировать следующим образом:

Проблема Бернсайда II. Для каких положительных целых чисел m и n свободная группа Бернсайда B(m, n) конечна? Полное решение проблемы Бернсайда в этой формулировке не известно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной работе:

B(1, n) – это циклическая группа порядка n.
B(m, 2) – прямое произведение m копий циклической группы порядка 2 и, следовательно, конечна. Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл):

B(m, 3), B(m, 4) и B(m, 6) конечны для всех m.

Конкретный случай B(2, 5) остается открытым: по состоянию на 2020 год не было известно, является ли эта группа конечной. Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут Петром Новиковым и Сергеем Адианом в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они показали, что для каждого нечетного числа n, большего 4381, существуют бесконечные, конечно порожденные группы показателя n. Адиан позже улучшил ограничение на нечетный показатель до 665. Последнее улучшение границы для нечетного показателя – 101, полученное самим Адианом в 2015 году. Случай четного показателя оказался значительно сложнее. Только в 1994 году Сергей Васильевич Иванов смог доказать аналог теоремы Новикова–Адияна: для любого m > 1 и четного n ≥ 248, делящегося на 29, группа B(m, n) бесконечна; вместе с теоремой Новикова–Адияна это подразумевает бесконечность для всех m > 1 и n ≥ 248. В 1996 году И. Г. Лысенко улучшил эту границу до m > 1 и n ≥ 8000. Новиков–Адиан, Иванов и Лысенко установили значительно более точные результаты о структуре свободных групп Бернсайда. В случае нечетного показателя все конечные подгруппы свободных групп Бернсайда оказались циклическими группами. В случае четного показателя каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух диэдрических групп, и существуют нециклические конечные подгруппы. Более того, было показано, что проблемы о слове и сопряженности эффективно разрешимы в B(m, n) как для случаев нечетных, так и четных показателей n.

Известный класс контрпримеров к проблеме Бернсайда формируется конечно порожденными нециклическими бесконечными группами, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклической группой, так называемые монстры Тарского. Первые примеры таких групп были построены А. Ю. Ольшанским в 1979 году с использованием геометрических методов, тем самым утвердительно решив проблему О. Ю. Шмидта. В 1982 году Ольшанский смог усилить свои результаты, установив существование для любого достаточно большого простого числа p (можно взять p > 1075) конечно порожденной бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклической группой порядка p. В статье, опубликованной в 1996 году, Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболической группе для достаточно больших показателей.