Бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шеше алмайтындығы туралы теорема

Кіріспе

5-ші немесе одан жоғары дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шешу мүмкін емес. Математикада Абель-Руффини теоремасы (Абелдің мүмкін еместік теоремасы деп те аталады) радикалдар арқылы бесінші немесе одан жоғары дәрежелі жалпы полиномиялық теңдеулердің шешімі жоқ екенін көрсетеді. Мұндағы "жалпы" дегеніміз, теңдеудің коэффициенттері белгісіз шамалар ретінде қарастырылып, олармен жұмыс жасалады дегенді білдіреді. Теорема 1799 жылы толық емес дәлелдеме жасаған Паоло Руффини және 1824 жылы дәлелдеме ұсынған Нильс Хенрик Абельдің есімімен аталған. Абель-Руффини теоремасы сонымен қатар радикалдар арқылы шешілмейтін бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің бар екендігін көрсетеді – бұл нәтиже Абельдің бастапқы теоремасынан туындамайды, бірақ оның дәлелінің салдары болып табылады, себебі дәлел теңдеудің коэффициенттеріндегі кейбір көпмүшелердің нөлдік емес екендігіне негізделген. Бұл толықтырылған тұжырым Галуа теориясынан тікелей туындайды және радикалдар арқылы шешілмейтін ең қарапайым теңдеу осы екенін, сондай-ақ бесінші немесе одан жоғары дәрежелі полиномиалдардың көпшілігі радикалдар арқылы шешілмейтінін көрсетеді. Бесінші немесе одан жоғары дәрежеде шешім табу мүмкін еместігі, төменгі дәрежедегі жағдайдан өзгеше: екі, үш және төрт дәрежелі теңдеулер үшін тиісінше квадраттық, кубтық және төртінші дәрежелі формулалар бар.

Контекст

Екінші дәрежелі полиномиялық теңдеулерді ежелден белгілі болған квадраттық формула арқылы шешуге болады. Сол сияқты үшінші дәрежедегі кубтық формула және төртінші дәрежедегі квартикалық формула 16-шы ғасырда табылды. Сол кездегі басты мәселе – жоғары дәрежелі теңдеулерді де осылайша шешуге бола ма екендігі болатын. 17-ші ғасырда оң дәрежелі кез келген полиномиялық теңдеудің, мүмкін нақты емес, шешімі бар екені айтылды, бірақ бұл 19-шы ғасырдың басында ғана толыққанды дәлелденді. Бұл – алгебраның негізгі теоремасы, ол шешімдерді дәл есептеуге тікелей көмектеспесе де, Ньютон әдісі арқылы кез келген қажетті дәлдікпен жуықтауға мүмкіндік береді. 16-шы ғасырдан 19-шы ғасырдың басына дейін алгебраның негізгі мәселесі бес және одан жоғары дәрежелі полиномиялық теңдеулердің шешімдеріне формула табу болды, сондықтан бұл теорема "алгебраның негізгі теоремасы" деп аталды. Бұл радикалдар арқылы шешім табуды білдіреді, яғни теңдеудің коэффициенттері мен қосу, алу, көбейту, бөлу және n-ші түбірді алу операцияларын қолдану арқылы алынған өрнекті білдіреді. Абель-Руффини теоремасы мұның мүмкін еместігін дәлелдейді. Дегенмен, бұл мүмкін емес екендігі кез келген дәрежедегі нақты теңдеуді радикалдармен шешуге болмайды дегенді білдірмейді. Керісінше, радикалдармен шешілетін теңдеулер кез келген дәрежеде кездеседі. Мысалы, кез келген n үшін xⁿ = 1 теңдеуі және циклотомиялық полиномдармен анықталатын теңдеулердің барлық шешімдері радикалдар арқылы өрнектеледі. Абельдің теоремасын дәлелдеуі радикалдармен шешілмейтін нақты теңдеулердің бар екенін тікелей көрсетпейді. Мұндай тұжырым Абельдің теоремасының мәлімдемесінен шығарылмайды, себебі ол "әрбір нақты бесінші дәрежелі теңдеудің әр теңдеуге арналған ерекше формуламен шешілуі мүмкін" деген мүмкіндікті жоққа шығармайды. Алайда, радикалдармен шешілмейтін нақты теңдеулердің болуы Абельдің дәлелінен туындайтын сияқты, өйткені дәлелдеуде коэффициенттердегі кейбір полиномдардың нөлдік полином еместігі және берілген шекті сандағы полиномдар үшін, олардың ешқайсысы да айнымалылардың белгілі бір мәнінде нөлге тең болмайтын мәндердің бар екендігі пайдаланылады. Абельдің дәлелін жариялағаннан кейін көп ұзамай Эварист Галуа қазір Галуа теориясы деп аталатын, кез келген теңдеудің радикалдармен шешілетінін анықтауға мүмкіндік беретін теорияны ұсынды. Бұл теория электронды компьютерлердің пайда болуына дейін тек теориялық мағынаға ие болды. Қазіргі заманғы компьютерлер мен бағдарламалардың көмегімен, полиномның радикалдармен шешілетінін анықтау 31-ші дәрежеге дейінгі полиномдар үшін мүмкін. Шешілетін полиномдардың радикалдардағы шешімдерін табу үшін үлкен есептеулер қажет, және 2023 жылға дейін жетіден жоғары дәрежелі полиномдар үшін іске асырылған алгоритмдер жарияланбаған. Тіпті бесінші дәрежелі полином үшін де, шешімдердің өрнегі соншалықты күрделі, оның практикалық маңызы жоқ.

Polynomial equations of degree two can be solved with the quadratic formula, which has been known since antiquity. Similarly the cubic formula for degree three, and the quartic formula for degree four, were found during the 16th century. At that time a fundamental problem was whether equations of higher degree could be solved in a similar way. The fact that every polynomial equation of positive degree has solutions, possibly non real, was asserted during the 17th century, but completely proved only at the beginning of the 19th century. This is the fundamental theorem of algebra, which does not provide any tool for computing exactly the solutions, although Newton's method allows approximating the solutions to any desired accuracy. From the 16th century to beginning of the 19th century, the main problem of algebra was to search for a formula for the solutions of polynomial equations of degree five and higher, hence the name the "fundamental theorem of algebra". This meant a solution in radicals, that is, an expression involving only the coefficients of the equation, and the operations of addition, subtraction, multiplication, division, and nth root extraction. The Abel–Ruffini theorem proves that this is impossible. However, this impossibility does not imply that a specific equation of any degree cannot be solved in radicals. On the contrary, there are equations of any degree that can be solved in radicals. This is the case of the equation for any n, and the equations defined by cyclotomic polynomials, all of whose solutions can be expressed in radicals. Abel's proof of the theorem does not explicitly contain the assertion that there are specific equations that cannot be solved by radicals. Such an assertion is not a consequence of Abel's statement of the theorem, as the statement does not exclude the possibility that "every particular quintic equation might be soluble, with a special formula for each equation." However, the existence of specific equations that cannot be solved in radicals seems to be a consequence of Abel's proof, as the proof uses the fact that some polynomials in the coefficients are not the zero polynomial, and, given a finite number of polynomials, there are values of the variables at which none of the polynomials takes the value zero. Soon after Abel's publication of its proof, Évariste Galois introduced a theory, now called Galois theory that allows deciding, for any given equation, whether it is solvable in radicals. This was purely theoretical before the rise of electronic computers. With modern computers and programs, deciding whether a polynomial is solvable by radicals can be done for polynomials of degree up to 31. Computing the solutions in radicals of solvable polynomials requires huge computations and, as of 2023, no implemented algorithm has been published for polynomials of degree higher than seven. Even for the degree five, the expression of the solutions is so huge that it has no practical interest.

Дәлел

Абель-Руффини теоремасының дәлелі Галуа теориясынан бұрын пайда болған. Дегенмен, Галуа теориясы осы мәселені жақсырақ түсінуге көмектеседі, ал қазіргі дәлелдер көбінесе оған негізделген, ал Абель-Руффини теоремасының бастапқы дәлелдері тарихи мақсаттар үшін әлі де қарастырылады. Галуа теориясына негізделген дәлелдер төрт негізгі қадамнан тұрады: өріс теориясы арқылы шешілетін теңдеулерді анықтау; берілген өрістің ішкі өрістері мен оның Галуа тобының ішкі топтары арасындағы Галуа сәйкестігін қолданып, осы анықтаманы шешілетін топтар арқылы көрсету; симметриялық топтың дәрежесі бес немесе одан жоғары болған жағдайда, ол шешілмейтінін дәлелдеу; және симметриялық Галуа тобына ие полиномдардың бар екендігін көрсету.

Галуа хат-хабарлары

Галуа сәйкестігі қалыпты өріс кеңеюінің кіші кеңеюлері мен кеңеюдің Галуа тобының кіші топтары арасында бір-бірге сәйкестік орнатады. Бұл сәйкестік K өрісін F-тің K-ны өзгеріссіз қалдыратын автоморфизмдерінің Галуа тобына бейнелейді, ал керісінше, H кіші тобын F элементтерінен тұратын өріске бейнелейді, олар H-мен өзгеріссіз қалады.

Алдыңғы бөлімде теңдеудің радикалдар арқылы шешілетіні, оның түбірлер өрісінің (барлық түбірлерді қамтитын ең кіші өріс) Галуа тобы шешілетін болса ғана екені көрсетілді, яғни ол әрбір алдыңғысына қалыпты болатын және циклдік квотиент тобына ие кіші топтар тізбесін қамтиды. (Шешілетін топтар көбінесе циклдік квотиент топтарының орнына абельдікпен анықталады, бірақ шекті абельдік топтардың негізгі теоремасы екі анықтаманың эквивалентті екенін көрсетеді). Осылайша, Абель-Руффини теоремасын дәлелдеу үшін симметриялық топтың шешілмейтінін және симметриялық Галуа тобына ие көпмүшелердің бар екенін дәлелдеу қажет.

Ерітілетін симметриялық топтар

n > 4 үшін, n дәрежесіндегі симметриялық топта тек кезектесіп ауыстыру тобы ғана тривиалды емес қалыпты кіші топ ретінде болады (қараңыз). n > 4 үшін, кезектесіп ауыстыру тобы қарапайым (яғни, оның тривиалды емес қалыпты кіші тобы жоқ) және абельдік емес. Бұл n > 4 үшін екі топтың да шешілмейтінін білдіреді. Осылайша, Абель-Руффини теоремасы симметриялық Галуа тобына ие көпмүшелердің болуынан туындайды; бұл келесі бөлімде көрсетіледі. Екінші жағынан, n ≤ 4 үшін симметриялық топ және оның барлық кіші топтары шешіледі. Бұл квадраттық, кубтық және төртінші дәрежелі формулалардың болуын түсіндіреді, себебі Галуа теориясының маңызды нәтижесі – полиномдық теңдеудің радикалдар арқылы шешімі бар, егер және тек қана оның Галуа тобы шешілетін болса ("шешілетін топ" термині осы теоремадан шыққан).

Нақты мысал

Келесіде түсіндірілетіндей, теңдеу радикалдар арқылы шешілмейді. q болсын, ал G болсын оның Галуа тобы, ол q-ның кешенді түбірлер жиынында адал әрекет етеді. Түбірлерді нөмірлеу арқылы G-ді симметриялық топтың кіші тобымен сәйкестендіруге болады. егер факторларға ие болса , онда G тобында ұзындығы 2 және 3 болатын ажыратылған циклдердің көбейтіндісінен тұратын пермутация бар (жалпы алғанда, моник бүтін санды полиномды белгілі бір санға дейін кеміткенде, егер ол ерекше моник азайтылмайтын полиномдардың көбейтіндісіне айналса, онда факторлардың дәрежелері Галуа тобына жататын кейбір пермутациялардағы ажыратылған циклдердің ұзындығын көрсетеді); содан кейін G-де де , яғни транспозиция болады. егер кешенді сандарда азайтылмайтын болса, осы принцип G тобында 5 цикл бар екенін көрсетеді. 5 жай сан болғандықтан, кез келген транспозиция және 5 цикл тобының бүкіл тобын тудырады; қараңыз. Демек, тобы шешілмейтін болғандықтан, теңдеу радикалдар арқылы шешілмейді.

Кейлидің шешімі

Кейлидің шешушісін қолдану арқылы нақты бір бесінші дәрежелі теңдеудің радикалдар арқылы шешілетіндігін тексеруге болады. Бұл – коэффициенттері жалпы бесінші дәрежелі теңдеудің коэффициенттерінен құралған полиномдар болатын алтыншы дәрежелі бір айнымалы полином. Нақты бір келтірілмейтін бесінші дәрежелі теңдеу радикалдар арқылы шешіледі, егер және тек қана оның коэффициенттері Кейлидің шешушісіне қойылғанда, нәтижесіндегі алтыншы дәрежелі полиномда рационал түбір болса.

Тарих

1770 жылы Жозеф Луи Лагранж теңдеулерді шешу үшін осы уақытқа дейін қолданылған әртүрлі әдістерді біріктіретін жұмысты бастады, оларды Лагранж шешімдері түрінде пермутациялар тобының теориясына байланыстырды. Лагранждың бұл инновациялық еңбегі Галуа теориясының алғы күші болды, ал оның бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерге шешімдер таба алмауы мұндай шешімдердің болуы мүмкін емес екенін көрсетеді, бірақ нақты дәлел бермеді. Квинтиканы радикалдар арқылы шешу мәселесі шешілмейтін болуы мүмкін деген тұжырымды алғаш рет Карл Фридрих Гаус жасады, ол 1798 жылы өзінің «Disquisitiones Arithmeticae» кітабының 359-тарауында (бірақ ол тек 1801 жылы жарияланды) «Бұл мәселе қазіргі талдау әдістеріне қарсы келе бермейді, себебі ол мүмкін емес нәрсені ұсынады» деп жазды. Келесі жылы, диссертациясында ол: «Көптеген геометрлердің еңбектері жалпы теңдеудің алгебралық шешімін табуға үміт қалдырмағаннан кейін, оның шешімі мүмкін емес және қайшылықты болуы ықтимал» деп жазды. Ол сондай-ақ: «Мүмкін, бесінші дәрежеге дейін мүмкін еместігін толыққанды дәлелдеу оңай болар. Мен осы зерттеулерімді басқа жерде кеңірек баяндамақпын» деп қосты. Бірақ Гаус бұл тақырыпта басқа ештеңе жариялаған жоқ. Ол дәлелін бірнеше математиктерге жіберді, оның ішінде Лагранж (жауап бермеді) және Огюстен Луи Коши, ол оған: «Теңдеулердің жалпы шешімі туралы сіздің еңбегіңіз – математиктердің есте сақтауы керек деп санайтын жұмыс және менің ойымша, төртінші дәрежеден жоғары теңдеулердің алгебралық шешілмейтіндігін толыққанды дәлелдейді» деп хат жазды. Алайда, Руффинидің дәлелі көбінесе сенімді деп есептелмеді. Абель былай деп жазды: «Менің алдымда жалпы теңдеулерді алгебралық жолмен шешу мүмкін емес екенін дәлелдеуге тырысқан алғашқы және, егер мен қателеспесем, жалғыз адам – математик Руффини. Бірақ оның еңбегі соншалықты күрделі, оның дәлелінің дұрыстығын анықтау өте қиын. Менің ойымша, оның дәлелі толыққанды қанағаттандырмайды». Кейіннен дәлелдің де толық емес екені анықталды. Руффини ол айналысатын барлық радикалдарды полином түбірлерінен тек далалық операцияларды қолдана отырып шығаруға болады деп болжады; қазіргі терминдермен айтқанда, радикалдар полиномның бөліну өрісіне жатады деп болжады. Бұл шын мәнінде қосымша болжам екенін түсіну үшін, мысалы, Кардано формуласына сәйкес, оның түбірлерінің бірі (немесе барлығы) куб түбірінің қосындысы ретінде беріледі. Екінші жағынан, егер , , және болса, онда , және түбірлерінің барлығы нақты болады, сондықтан өріс өрістің ішкі өрісі болып табылады. Бірақ содан кейін сандар өріске жата алмайды. Коши Руффинидің болжамын байқамаған немесе оны маңызды емес деп санаған болса да, көптеген тарихшылар Абель табиғи иррационалдықтар туралы теореманы дәлелдегенге дейін дәлел толық емес деп санайды, бұл болжам жалпы полиномдар үшін дұрыс екенін көрсетеді. Сондықтан Абель-Руффини теоремасы көбінесе 1824 жылы тек алты бетке сығызған дәлелді жариялаған Абельге тиесілі деп есептеледі. 1830 жылы Галуа (18 жасында) Париж ғылым академиясына радикалдар арқылы шешілу теориясы туралы еңбегін ұсынды, ол 1831 жылы тым тұжырымды болғаны және теңдеудің коэффициенттері орнына түбірлерінің шарттарын бергені үшін қабылданбады. Галуа Руффини мен Абельдің үлесін білген, себебі ол: «Бүгінгі күні жалпыға ортақ шындық – 4-тен жоғары дәрежелі жалпы теңдеуді радикалдармен шеше алмаймыз, бұл шындық геометрлер Абель мен Руффинидің дәлелдерін елемегеніне қарамастан, жалпыға ортақ болып кетті» деп жазды. Галуа 1832 жылы қайтыс болды, ал оның «Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux» еңбегі 1846 жылға дейін жарияланбады, оны Жозеф Лиувилл өзінің түсіндірмелерімен бірге жариялады. Бұл жарияланудан бұрын Лиувилл 1843 жылдың 4 шілдесінде академияда сөйлеген сөзінде Галуаның нәтижесін жариялады. Вантцель оны жариялаған кезде Галуаның үлесін білген және Абельдің дәлелі тек жалпы полиномдар үшін ғана жарамды екенін, ал Галуаның әдісі радикалдар арқылы коэффициенттерінен шығарылмайтын 5-дәрежелі полиномды табуға қолданылуы мүмкін екенін айтты. 1963 жылы Владимир Арнольд Абель-Руффини теоремасының топологиялық дәлелін тапты, ол топологиялық Галуа теориясының бастапқы нүктесі болды.

Around 1770, Joseph Louis Lagrange began the groundwork that unified the many different methods that had been used up to that point to solve equations, relating them to the theory of groups of permutations, in the form of Lagrange resolvents. This innovative work by Lagrange was a precursor to Galois theory, and its failure to develop solutions for equations of fifth and higher degrees hinted that such solutions might be impossible, but it did not provide conclusive proof. The first person who conjectured that the problem of solving quintics by radicals might be impossible to solve was Carl Friedrich Gauss, who wrote in 1798 in section 359 of his book Disquisitiones Arithmeticae (which would be published only in 1801) that "there is little doubt that this problem does not so much defy modern methods of analysis as that it proposes the impossible". The next year, in his thesis, he wrote "After the labors of many geometers left little hope of ever arriving at the resolution of the general equation algebraically, it appears more and more likely that this resolution is impossible and contradictory." And he added "Perhaps it will not be so difficult to prove, with all rigor, the impossibility for the fifth degree. I shall set forth my investigations of this at greater length in another place." Actually, Gauss published nothing else on this subject. He sent his proof to several mathematicians to get it acknowledged, amongst them Lagrange (who did not reply) and Augustin Louis Cauchy, who sent him a letter saying: "Your memoir on the general solution of equations is a work which I have always believed should be kept in mind by mathematicians and which, in my opinion, proves conclusively the algebraic unsolvability of general equations of higher than fourth degree." However, in general, Ruffini's proof was not considered convincing. Abel wrote: "The first and, if I am not mistaken, the only one who, before me, has sought to prove the impossibility of the algebraic solution of general equations is the mathematician Ruffini. But his memoir is so complicated that it is very difficult to determine the validity of his argument. It seems to me that his argument is not completely satisfying." The proof also, as it was discovered later, was incomplete. Ruffini assumed that all radicals that he was dealing with could be expressed from the roots of the polynomial using field operations alone; in modern terms, he assumed that the radicals belonged to the splitting field of the polynomial. To see why this is really an extra assumption, consider, for instance, the polynomial According to Cardano's formula, one of its roots (all of them, actually) can be expressed as the sum of a cube root of with a cube root of On the other hand, since , , , and , the roots , , and of are all real and therefore the field is a subfield of But then the numbers cannot belong to While Cauchy either did not notice Ruffini's assumption or felt that it was a minor one, most historians believe that the proof was not complete until Abel proved the theorem on natural irrationalities, which asserts that the assumption holds in the case of general polynomials. The Abel–Ruffini theorem is thus generally credited to Abel, who published a proof compressed into just six pages in 1824. In 1830, Galois (at the age of 18) submitted to the Paris Academy of Sciences a memoir on his theory of solvability by radicals, which was ultimately rejected in 1831 as being too sketchy and for giving a condition in terms of the roots of the equation instead of its coefficients. Galois was aware of the contributions of Ruffini and Abel, since he wrote "It is a common truth, today, that the general equation of degree greater than 4 cannot be solved by radicals this truth has become common (by hearsay) despite the fact that geometers have ignored the proofs of Abel and Ruffini " Galois then died in 1832 and his paper Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux remained unpublished until 1846, when it was published by Joseph Liouville accompanied by some of his own explanations. Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the academy in a speech he gave on 4 July 1843. When Wantzel published it, he was already aware of the contributions by Galois and he mentions that, whereas Abel's proof is valid only for general polynomials, Galois' approach can be used to provide a concrete polynomial of degree 5 whose roots cannot be expressed in radicals from its coefficients. In 1963, Vladimir Arnold discovered a topological proof of the Abel–Ruffini theorem, which served as a starting point for topological Galois theory.