Введение

Уравнения 5-й степени и выше не могут быть решены в радикалах.

В математике теорема Абеля — Руффини (также известная как теорема о неразрешимости Абеля) утверждает, что не существует решения в радикалах для общих полиномиальных уравнений 5-й степени и выше с произвольными коэффициентами. Здесь под общим понимается, что коэффициенты уравнения рассматриваются и оперируются как неопределённые величины. Теорема названа в честь Паоло Руффини, который представил неполное доказательство в 1799 году (принятое Коши), и Нильса Хенрика Абеля, предоставившего доказательство в 1824 году. Теорема Абеля — Руффини относится также к несколько более сильному результату о том, что существуют уравнения 5-й степени и выше, которые не могут быть решены в радикалах. Это не вытекает непосредственно из формулировки теоремы Абеля, но является следствием его доказательства, поскольку оно основано на том, что некоторые многочлены относительно коэффициентов уравнения не являются нулевым многочленом. Это уточнённое утверждение, непосредственно вытекающее из теории Галуа, также подразумевает, что x⁵ - x = 0 является самым простым уравнением, которое нельзя решить в радикалах, и что почти все полиномы 5-й степени и выше не могут быть решены в радикалах. Невозможность решения уравнений 5-й степени и выше контрастирует со случаем уравнений меньшей степени: для степеней два, три и четыре существуют, соответственно, квадратная формула, формула для кубических уравнений и формула для уравнений четвёртой степени.

Контекст

Многочленные уравнения второй степени могут быть решены с помощью квадратной формулы, которая известна с древности. Аналогично, кубическая формула для уравнений третьей степени и формула для уравнений четвертой степени были найдены в XVI веке. В то время фундаментальной проблемой было выяснение возможности решения уравнений более высокой степени аналогичным образом. Тот факт, что каждое многочленное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, недействительные, был сформулирован в XVII веке, но полностью доказан лишь в начале XIX века. Это фундаментальная теорема алгебры, которая не предоставляет средств для точного вычисления решений, хотя метод Ньютона позволяет приближенно находить решения с любой желаемой точностью. С XVI века до начала XIX века главной задачей алгебры был поиск формулы для решения многочленных уравнений пятой степени и выше, отсюда и название "фундаментальная теорема алгебры". Под "решением в радикалах" подразумевалось выражение, включающее только коэффициенты уравнения и операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня n-й степени. Теорема Абеля — Руффини доказывает, что это невозможно в общем случае. Однако эта невозможность не означает, что конкретное уравнение любой степени нельзя решить в радикалах. Напротив, существуют уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это справедливо для уравнения xⁿ = a для любого n, а также для уравнений, определяемых циклотомическими многочленами, все решения которых могут быть выражены в радикалах. Доказательство теоремы Абеля не содержит явного утверждения о существовании специфических уравнений, которые нельзя решить в радикалах. Такое утверждение не вытекает непосредственно из формулировки теоремы Абеля, поскольку она не исключает возможности того, что "каждое конкретное уравнение пятой степени может быть разрешимым, с использованием специальной формулы для каждого уравнения". Тем не менее, существование специфических уравнений, которые нельзя решить в радикалах, представляется следствием доказательства Абеля, поскольку в нем используется тот факт, что некоторые многочлены относительно коэффициентов не являются нулевыми, и для конечного числа многочленов всегда можно найти такие значения переменных, при которых ни один из многочленов не обращается в нуль. Вскоре после публикации доказательства Абелем, Эварист Галуа представил теорию, ныне известную как теория Галуа, которая позволяет определить для любого заданного уравнения, может ли оно быть решено в радикалах. До появления электронных вычислительных машин эта теория носила чисто теоретический характер. С развитием современных компьютеров и программ определение разрешимости многочлена в радикалах стало возможным для многочленов степени до 31. Вычисление решений в радикалах для разрешимых многочленов требует огромных вычислительных ресурсов, и по состоянию на 2023 год не было опубликовано реализованных алгоритмов для многочленов степени выше семи. Даже для уравнений пятой степени выражение решений настолько громоздко, что не представляет практического интереса.

Доказательство

Доказательство теоремы Абеля — Руффини предшествует теории Галуа. Однако теория Галуа позволяет глубже понять эту тему, и современные доказательства обычно строятся на её основе, в то время как оригинальные доказательства теоремы Абеля — Руффини по-прежнему приводятся в исторических целях. Доказательства, основанные на теории Галуа, состоят из четырех основных этапов: характеризация разрешимых уравнений в терминах теории полей; использование соответствия Галуа между подполями данного поля и подгруппами его группы Галуа для выражения этой характеризации в терминах разрешимых групп; доказательство неразрешимости симметрической группы при степени, равной пяти или более; и существование многочленов с симметричной группой Галуа.

Переписка Галуа

Корреспонденция Галуа устанавливает взаимно однозначное соответствие между подрасширениями нормального расширения поля и подгруппами группы Галуа этого расширения. Это соответствие сопоставляет поле K группе Галуа автоморфизмов F, фиксирующих K, и, наоборот, сопоставляет подгруппу H группы Галуа полю элементов F, фиксированных H.

Предыдущий раздел показывает, что уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа его поля расщепления (наименьшего поля, содержащего все корни) является разрешимой, то есть содержит последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей, с циклической фактор-группой. (Разрешимые группы обычно определяются с использованием абелевых, а не циклических фактор-групп, но фундаментальная теорема о конечных абелевых группах показывает, что эти два определения эквивалентны). Таким образом, для доказательства теоремы Абеля — Руффини остается доказать, что симметрическая группа не является разрешимой, и что существуют многочлены с симметрической группой Галуа.

Растворимые симметрические группы

Для n > 4 симметричная группа степени n имеет только чередующуюся группу в качестве нетривиальной нормальной подгруппы (см.). Для n > 4 чередующаяся группа проста (то есть не имеет нетривиальных нормальных подгрупп) и неабелева. Это влечет за собой, что и не разрешимы при n > 4. Таким образом, теорема Абеля — Руффини является следствием существования многочленов с симметричной группой Галуа; это будет показано в следующем разделе. С другой стороны, для n ≤ 4 симметричная группа и все её подгруппы разрешимы. Это объясняет существование формул для квадратных, кубических и уравнений четвёртой степени, поскольку важный результат теории Галуа заключается в том, что многочленное уравнение имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (термин "разрешимая группа" происходит из этой теоремы).

Явный пример

Уравнение не разрешается в радикалах, как будет объяснено ниже. Пусть q будет некоторым многочленом. Пусть G — его группа Галуа, которая действует верно на множестве комплексных корней q. Нумерация корней позволяет отождествить G с подгруппой симметрической группы. Поскольку q разлагается на множители в ℚ, группа G содержит перестановку, являющуюся произведением непересекающихся циклов длин 2 и 3 (в общем случае, когда моничный целочисленный многочлен приводится по модулю простого числа к произведению различных монических неприводимых многочленов, степени этих множителей дают длины непересекающихся циклов в некоторой перестановке, принадлежащей группе Галуа); тогда G также содержит транспозицию. Поскольку многочлен неприводим в ℚ, тот же принцип показывает, что G содержит 5-цикл. Поскольку 5 — простое число, любая транспозиция и 5-цикл в G порождают всю группу; см. [ссылка]. Таким образом, поскольку группа G не разрешима, уравнение не разрешается в радикалах.

Кейли решительна.

Проверка разрешимости конкретного квинтика в радикалах может быть выполнена с помощью разрешающей системы Кейли. Это одновариантный многочлен шестой степени, коэффициенты которого являются многочленами от коэффициентов общего квинтика. Конкретный неприводимый квинтик разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда при подстановке его коэффициентов в разрешающую систему Кейли, полученный секстический многочлен имеет рациональный корень.

История

Около 1770 года Жозеф Луи Лагранж начал работу, которая объединила множество различных методов, использовавшихся до того времени для решения уравнений, связав их с теорией групп перестановок в форме разрешающих многочленов Лагранжа. Эта новаторская работа Лагранжа стала предшественницей теории Галуа, и её неудача в разработке решений уравнений пятой и более высокой степени намекала на то, что такие решения могут быть невозможны, но не предоставила окончательного доказательства. Первым, кто предположил, что проблема решения уравнений пятой степени с помощью радикалов может быть неразрешима, был Карл Фридрих Гаусс, который в 1798 году в разделе 359 своей книги Disquisitiones Arithmeticae (опубликованной лишь в 1801 году) написал: «Мало сомнений в том, что эта проблема не столько бросает вызов современным методам анализа, сколько предлагает невозможное». В следующем году, в своей диссертации, он писал: «После трудов многих геометров осталась мало надежды когда-либо прийти к алгебраическому решению общего уравнения, всё более вероятно, что это решение невозможно и противоречиво». И добавил: «Возможно, не так сложно будет строго доказать невозможность для пятой степени. Я изложу свои исследования этого более подробно в другом месте». Однако Гаусс больше ничего по этому вопросу не опубликовал. Он отправил своё доказательство нескольким математикам для признания, среди них Лагранжу (который не ответил) и Огюстену Луи Коши, который прислал ему письмо: «Ваши мемуары об общем решении уравнений – это работа, которую я всегда считал важной для математиков и которая, по моему мнению, убедительно доказывает алгебраическую неразрешимость общих уравнений степени выше четвёртой». Однако в целом доказательство Руффини не было признано убедительным. Абель писал: «Первым и, насколько я понимаю, единственным, кто до меня пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений, был математик Руффини. Но его мемуары настолько сложны, что очень трудно определить обоснованность его аргументов. Мне кажется, что его аргументы не вполне удовлетворительны». Доказательство, как было обнаружено позже, также было неполным. Руффини предположил, что все радикалы, с которыми он работал, могут быть выражены из корней многочлена с использованием только операций в поле; в современных терминах он предположил, что радикалы принадлежат к разделяющему полю многочлена. Чтобы понять, почему это действительно дополнительное предположение, рассмотрим, например, многочлен. Согласно формуле Кардано, один из его корней (фактически все они) может быть выражен как сумма кубического корня из с кубическим корнем из . С другой стороны, поскольку , , и , корни , и из все вещественны, и поэтому поле является подполем из . Но тогда числа не могут принадлежать полю . Коши либо не заметил предположения Руффини, либо счёл его незначительным, однако большинство историков полагают, что доказательство было неполным, пока Абель не доказал теорему о естественных иррациональностях, которая утверждает, что предположение верно для общих многочленов. Таким образом, теорема Абеля-Руффини обычно приписывается Абелю, который опубликовал доказательство, уместившееся всего на шести страницах, в 1824 году. В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуар о своей теории разрешимости уравнений с помощью радикалов, который в конечном итоге был отклонен в 1831 году как слишком схематичный и за предоставление условия с точки зрения корней уравнения, а не его коэффициентов. Галуа знал о вкладе Руффини и Абеля, поскольку он писал: «Сегодня общепринятая истина заключается в том, что общее уравнение степени выше 4 не может быть решено с помощью радикалов. Эта истина стала общепринятой (по слухам), несмотря на то, что геометры проигнорировали доказательства Абеля и Руффини». Галуа умер в 1832 году, а его работа Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем с некоторыми его собственными пояснениями. До публикации Лиувилль объявил о результате Галуа в Академии в речи, произнесенной 4 июля 1843 года. Когда Вантцель опубликовал её, он уже знал о вкладе Галуа и отметил, что, в то время как доказательство Абеля справедливо только для общих многочленов, подход Галуа может быть использован для предоставления конкретного многочлена пятой степени, корни которого нельзя выразить через радикалы из его коэффициентов. В 1963 году Владимир Арнольд обнаружил топологическое доказательство теоремы Абеля-Руффини, которое послужило отправной точкой для топологической теории Галуа.