Введение
Треугольник, полученный проектированием точки на стороны другого треугольника
В планиметрии педальный треугольник получают, проектируя точку на стороны треугольника. Более конкретно, рассмотрим треугольник △ABC и точку P, не являющуюся одной из вершин A, B, C. Опустите перпендикуляры из P на три стороны треугольника (возможно, потребуется их продолжить, то есть расширить). Обозначьте L, M, N точки пересечения перпендикуляров из P со сторонами BC, AC, AB соответственно. Тогда педальный треугольник – это △LMN. Если △ABC не является тупоугольным треугольником, а P – ортоцентр, то углы △LMN равны 180° − 2A и 180° − 2C. Расположение выбранной точки P относительно выбранного треугольника △ABC приводит к некоторым особым случаям:
Если P – ортоцентр, то △LMN является ортотреугольником. Если P – центр вписанной окружности, то △LMN – треугольник касательных. Если P – центр описанной окружности, то △LMN – средний треугольник. Если P лежит на описанной окружности треугольника, то △LMN вырождается в прямую (педальную линию или линию Симсона). Вершины педального треугольника внутренней точки P, как показано на верхней диаграмме, делят стороны исходного треугольника таким образом, что выполняется теорема Карно:
Антипедальный треугольник
Одна вершина, L', антипедального треугольника точки P является точкой пересечения перпендикуляра к BP, проходящего через B, и перпендикуляра к CP, проходящего через C. Другие его вершины, M' и N', строятся аналогичным образом. Трилинейные координаты задаются следующим образом.
Например, эксцентрический треугольник является антипедальным треугольником инцентра. Предположим, что точка P не лежит ни на одной из продолженных сторон BC, CA, AB, и пусть P^(−1) обозначает изогональный сопряженный к P. Педальный треугольник точки P гомотетичен антипедальному треугольнику точки P^(−1). Центр гомотетии (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда P является центром треугольника) – это точка, заданная в трилинейных координатах следующим образом:
Произведение площадей педального треугольника точки P и антипедального треугольника точки P^(−1) равно квадрату площади треугольника ABC.
Педальный круг
Педальная окружность определяется как описанная окружность педального треугольника. Следует отметить, что педальная окружность не определена для точек, лежащих на описанной окружности треугольника.
Педальный круг из изогональных конъюгатов
Для любой точки P, не лежащей на описанной окружности треугольника, известно, что точка P и её изогональный конъюгат P* имеют общий педальный круг, центром которого является середина отрезка, соединяющего эти две точки.