Cauchy's functional equation

Кіріспе

Функционалдық теңдеу Кошидің функционалдық теңдеуі - функционалдық теңдеу: Бұл теңдеуді шешетін функция - аддитивті функция деп аталады. Рационалды сандар бойынша, элементарлық алгебраны қолдану арқылы шешімдердің бір ғана отбасы бар екенін көрсетуге болады, атап айтқанда кез келген рационалды тұрақты үшін Реалдық сандар бойынша, кездейсоқ нақты тұрақтысы бар сызықтық карталар отбасы да шешімдер отбасы болып табылады; алайда бұл формада емес, өте күрделі басқа да шешімдер болуы мүмкін. Алайда, кейбір тұрақтылық жағдайларының кез келгені, олардың кейбіреулері өте әлсіз, бұл патологиялық шешімдердің болуына кедергі келтіреді. Мысалы, аддитивті функция: жалғасты болса, сызықтық болып табылады (Коши, 1821). Шын мәнінде, бір нүктеде үздіксіз болу үшін жеткілікті (Darboux, 1875). кез келген интервалда монотонды болады. кез келген аралықта шектеледі. өлшенетін Лебегтік. Екінші жағынан, егер қосымша шарттар қойылмаса, онда (талап аксиомасын қабылдағанда) теңдеуді қанағаттандыратын шексіз көптеген басқа функциялар бар. Бұл 1905 жылы Георг Хамельдің Хамель негіздерін қолданып дәлелдеді. Мұндай функцияларды кейде Гамель функциялары деп атайды. Гилберт тізіміндегі бесінші мәселе осы теңдеуді жалпылау болып табылады. Нақты сан бар функциялар Коши Хамель функциялары деп аталады және 3D-ден жоғары өлшемдерге Хилберттің үшінші проблемасының кеңейтуінде қолданылатын Дехн Хадвигер инварианттарында қолданылады. Бұл теңдеу кейде Кошидің экспоненциалдық функционалдық теңдеуінен, Кошидің логарифмдік функционалдық теңдеуінен және Кошидің көбейтуші функционалдық теңдеуінен ажырату үшін Кошидің аддитивті функционалдық теңдеуі деп аталады.

Нақты сандардағы сызықтық емес шешімдердің қасиеттері

Біз төмендегі кез келген басқа шешімдердің өте патологиялық функциялар болуы керектігін дәлелдейміз. Атап айтқанда, кез келген басқа шешімнің графигі тығыз болуы керек, яғни жазықтықтағы кез келген дискте (қалайша кішкентай болса да) графиктен нүкте болуы керек. Осыдан кіріспе абзацта келтірілген әртүрлі шарттарды дәлелдеу оңай.

Нақты сандарға сызықтық емес шешімдердің болуы

Жоғарыда берілген сызықтық дәлел де рационалдардың масштабталған көшірмесі қайда қолданылады. Бұл тек линейлік шешімдерге ғана рұқсат етілетінін көрсетеді, егер "і" домені осындай жиынтықтарға шектелсе. Сонымен, жалпы алғанда, бізде бар және Алайда, төмендегідей көрсетіп отырғандай, нақты сандарды рационалды сандар өрісі бойынша векторлық кеңістік ретінде қарастыру арқылы осы сызықтық шешімдерге негізделген функциялар үшін өте патологиялық шешімдер табуға болады. Алайда, бұл әдіс конструктивті емес екенін ескеріңіз, өйткені ол кез-келген векторлық кеңістік үшін (Гамель) негізінің болуына сүйенеді, бұл мәлімдеме Зорн леммасын қолдана отырып дәлелденді. (Шын мәнінде, әр векторлық кеңістік үшін негіздің болуы логикалық жағынан таңдау аксиомасына тең.) ZF + DC-ге сәйкес келетін барлық нақты жиынтықтарды өлшейтін модельдер бар және оларда барлық шешімдер сызықтық болып табылады. Бұл жерде анықталатыннан басқа шешімдер бар екенін көрсету үшін, алдымен, әрбір векторлық кеңістіктің негізі бар, сондықтан өрістің негізі бар, яғни кез келгенін бірегей түрде білдіруге болатын қасиетті жиынтық бар. Бұл жерде шекті қосалқы жиынтық бар және әрқайсысы бар. Біз өрістің нақты негізі жазылмағанына байланысты, төменде анықталған патологиялық шешімдер де нақты түрде білдірілмейді. Жоғарыда айтылғандай, to шектеуі әр қосымша үшін сызықтық карта болуы керек, өйткені for пропорционалдылық тұрақтылығы екені анық. Басқаша айтқанда, карта s-тің бірегей (түпкілікті) сызықтық комбинациясы ретінде көрсетілуі мүмкін болғандықтан, және қосулы, барлығы үшін жақсы анықталады және мыналар арқылы беріледі: Кошидің функционалдық теңдеуінің шешімі екенін тексеру оңай, өйткені элементтердің анықтамасы негізінде, сонымен қатар, әрбір шешімнің осы түрдегі екендігі анық. Атап айтқанда, функционалдық теңдеудің шешімдері сызықтық болып табылады, егер және тек қана барлық жерде тұрақты болса. Осылайша, сызықтық емес шешімді көрсетуге қабілетсіздігіне қарамастан, Коши функционалдық теңдеуінің "көпшілігі" (кардинальдық мағынасында) шешімдері шын мәнінде сызықтық емес және патологиялық.

The linearity proof given above also applies to where is a scaled copy of the rationals. This shows that only linear solutions are permitted when the domain of is restricted to such sets. Thus, in general, we have for all and However, as we will demonstrate below, highly pathological solutions can be found for functions based on these linear solutions, by viewing the reals as a vector space over the field of rational numbers. Note, however, that this method is nonconstructive, relying as it does on the existence of a (Hamel) basis for any vector space, a statement proved using Zorn's lemma. (In fact, the existence of a basis for every vector space is logically equivalent to the axiom of choice.) There exists models where all sets of reals are measurable which are consistent with ZF + DC, and therein all solutions are linear. To show that solutions other than the ones defined by exist, we first note that because every vector space has a basis, there is a basis for over the field i. e. a set with the property that any can be expressed uniquely as where is a finite subset of and each is in We note that because no explicit basis for over can be written down, the pathological solutions defined below likewise cannot be expressed explicitly. As argued above, the restriction of to must be a linear map for each Moreover, because for it is clear that is the constant of proportionality. In other words, is the map Since any can be expressed as a unique (finite) linear combination of the s, and is additive, is well defined for all and is given by:

It is easy to check that is a solution to Cauchy's functional equation given a definition of on the basis elements, Moreover, it is clear that every solution is of this form. In particular, the solutions of the functional equation are linear if and only if is constant over all Thus, in a sense, despite the inability to exhibit a nonlinear solution, "most" (in the sense of cardinality) solutions to the Cauchy functional equation are actually nonlinear and pathological.