Введение

Функциональное уравнение Функциональное уравнение Коши - это функциональное уравнение: функция, которая решает это уравнение, называется аддитивной функцией. По отношению к рациональным числам можно показать, используя элементарную алгебру, что существует единственное семейство решений, а именно для любой рациональной константы. По отношению к реальным числам, семейство линейных карт, теперь с произвольной реальной константой, также является семьей решений; однако могут существовать другие решения, не имеющие этой формы, которые чрезвычайно сложны. Однако любое из ряда условий регулярности, некоторые из которых довольно слабые, исключает существование этих патологических решений. Например, аддитивная функция является линейной, если: непрерывна (Коши, 1821). На самом деле, достаточно, чтобы она была непрерывной в одной точке (Darboux, 1875). монотонна в любом интервале. ограничена на любом интервале. Лебег измеримо. С другой стороны, если не налагаются никакие дополнительные условия, то (принимая аксиому выбора) существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием баз Гамеля. Такие функции иногда называют функциями Гамеля. Пятая проблема в списке Гильберта - обобщение этого уравнения. Функции, где существует реальное число, известные как функции Гамеля Коши, используются в инвариантах Дена Хадвигера, которые используются в расширении третьей проблемы Гильберта из 3D в более высокие измерения. Это уравнение иногда называют аддитивным функциональным уравнением Коши, чтобы отличить его от экспоненциального функционального уравнения Коши, логарифмического функционального уравнения Коши и умножающего функционального уравнения Коши.

Свойства нелинейных решений над действительными числами

Ниже мы докажем, что любые другие решения должны быть высокопатологическими функциями. В частности, показано, что любое другое решение должно иметь свойство, что его график плотен, то есть, что любой диск в плоскости (как бы маленький он ни был) содержит точку из графика. Из этого легко доказать различные условия, приведенные в вводном абзаце.

Существование нелинейных решений над действительными числами

Доказательство линейности, приведенное выше, также применимо к где является масштабированной копией рационалов. Это показывает, что только линейные решения разрешены, когда область ограничена такими множествами. Таким образом, в целом, у нас есть для всех и Однако, как мы покажем ниже, высоко патологические решения могут быть найдены для функций, основанных на этих линейных решениях, рассматривая действительные числа как векторное пространство над полем рациональных чисел. Однако обратите внимание, что этот метод неконструктивен, так как он опирается на существование (хамелевой) основы для любого векторного пространства, утверждение, доказано с использованием леммы Зорна. (На самом деле, существование основы для каждого векторного пространства логически эквивалентно аксиоме выбора.) Существуют модели, в которых все наборы действительных величин являются измеримыми, которые согласуются с ZF + DC, и в них все решения линейны. Чтобы показать, что существуют решения, отличные от тех, которые определены, мы сначала отметим, что, поскольку каждое векторное пространство имеет основу, есть основание для поля над, т. е. множество с свойством, что любое может быть выражено уникально как где является конечным подмножеством и каждый находится в Мы отмечаем, что, поскольку явное основание для над не может быть записано, патологические решения, определенные ниже, также не могут быть выражены явно. Как утверждалось выше, ограничение должно быть линейной картой для каждого из них, потому что для этого ясно, что это константа пропорциональности. Другими словами, является картой Поскольку любая может быть выражена как уникальная (окончательная) линейная комбинация s, и является аддитивной, хорошо определена для всех и дается: легко проверить, что является решением функционального уравнения Коши, если дать определение элементов на основе, кроме того, ясно, что каждое решение имеет эту форму. В частности, решения функционального уравнения линейны, если и только если постоянны во всем Таким образом, в некотором смысле, несмотря на невозможность продемонстрировать нелинейное решение, "большинство" (в смысле кардинальности) решений функционального уравнения Коши на самом деле нелинейны и патологичны.