Кіріспе
Дискретті айнымалы ықтималдық үлестірімі
Ықтималдық пен статистикада, ықтималдық массалық функциясы (кейде ықтималдық функциясы немесе жиілік функциясы деп аталады) – дискретті кездейсоқ айнымалының нақты бір мәнге тең болу ықтималдығын көрсететін функция. Ол дискретті ықтималдық тығыздық функциясы деп те аталуы мүмкін. Ықтималдық массалық функциясы көбінесе дискретті ықтималдық үлестірімін анықтаудың басты құралы болып табылады, және мұндай функциялар дискретті домендегі скалярлы немесе көп өлшемді кездейсоқ айнымалылар үшін қолданылады. Ықтималдық массалық функциясы, ықтималдық тығыздық функциясынан (PDF) өзгеше, себебі соңғысы үздіксіз кездейсоқ айнымалылармен байланысты. PDF-тің мәнінен ықтималдық алу үшін, оны белгілі бір аралықта интегралдау қажет. Ең жоғары ықтималдық массасына ие кездейсоқ айнымалының мәні режим деп аталады.
Шекті
Үш негізгі үлестірім бар: Бернулли үлестірімі, биномдық үлестірімі және геометриялық үлестірімі. Бернулли таралымы: ber(p), тек екі мүмкін нәтижеге ие экспериментті модельдеу үшін қолданылады. Екі нәтиже көбінесе 1 және 0 ретінде кодталады. Бернулли таралымының мысалы – монетаны лақтыру. Бір әділ монетаны бір рет лақтырудың барлық мүмкін нәтижелерінің жиыны деп есептейік, ал – кездейсоқ айнымалы, ол «құйрық» санатына 0, ал «басқа» санатына 1 мәнін тағайындайды. Монета әділ болғандықтан, ықтималдық массалық функциясы мынадай: Биномдық таралым, алмастыру арқылы n рет тарту кезінде табыстардың санын модельдейді. Әр тарту немесе тәжірибе екі мүмкін нәтижеге ие және тәуелсіз. Оған сәйкес ықтималдық массалық функциясы мынадай: Биномдық үлестірілімнің мысалы – біреу әділ текшемен үш рет лақтырғанда дәл бір 6 шығу ықтималдығы. Геометриялық таралым – бір табысқа қол жеткізу үшін қажетті тәжірибелердің санын сипаттайды. Оның ықтималдық массалық функциясы мынадай: Мысалы, бірінші «бас» шыққанға дейін монетаны лақтырып тастау. «Бас» нәтижесінің ықтималдығын білдіреді, ал – қажетті монета лақтырулар санын білдіреді. Ықтималдық массалық функциясын пайдалана отырып модельдеуге болатын басқа үлестірімдер – категориялық таралым (бұл жалпыланған Бернулли таралымы деп те аталады) және мультиномиалдық таралым. Егер дискретті таралымда екі немесе одан көп категория болса, олардың кез келгені пайда болуы мүмкін, бұл категориялардың табиғи ретіне қарамастан, егер тек бір тәжірибе (тарту) болса, онда бұл категориялық таралым болып табылады. Мультиномиалдық таралым көпөлшемді дискретті таралымның және оның ықтималдық массалық функциясының мысалын келтіреді. Мұнда бірнеше кездейсоқ айнымалылар – бұл белгілі бір тәжірибелер санынан кейін әр категориядағы табыстардың саны, ал әрбір нөлдік емес ықтималдық массасы – әртүрлі категориялардағы табыстардың белгілі бір комбинациясының ықтималдығын көрсетеді.
Binomial distribution, models the number of successes when someone draws n times with replacement. Each draw or experiment is independent, with two possible outcomes. The associated probability mass function is An example of the binomial distribution is the probability of getting exactly one 6 when someone rolls a fair die three times. Geometric distribution describes the number of trials needed to get one success. Its probability mass function is An example is tossing a coin until the first "heads" appears. denotes the probability of the outcome "heads", and denotes the number of necessary coin tosses. Other distributions that can be modeled using a probability mass function are the categorical distribution (also known as the generalized Bernoulli distribution) and the multinomial distribution. If the discrete distribution has two or more categories one of which may occur, whether or not these categories have a natural ordering, when there is only a single trial (draw) this is a categorical distribution. An example of a multivariate discrete distribution, and of its probability mass function, is provided by the multinomial distribution. Here the multiple random variables are the numbers of successes in each of the categories after a given number of trials, and each non zero probability mass gives the probability of a certain combination of numbers of successes in the various categories.
шексіз
Келесі экспоненциалды төмендеу үлестірімі – мүмкін нәтижелер саны шексіз болатын үлестіріме мысалы: барлық оң бүтін сандар. Нәтижелер саны шексіз болғанына қарамастан, жалпы ықтималдық массасы 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1-ге тең, бұл ықтималдық үлестірімі үшін қажетті бірлікке тең жалпы ықтималдық шартын орындайды.
Көптүрлі жағдай
Екі немесе одан көп дискретті кездейсоқ шамалардың бірлескен ықтималдық массалық функциясы болады, ол осы кездейсоқ шамалардың мүмкін болатын әр комбинациясының ықтималдығын көрсетеді.