Введение
Распределение вероятности дискретных переменных
В теории вероятностей и статистике вероятностная массовая функция (иногда называемая функцией вероятности или частотной функцией) — это функция, которая определяет вероятность того, что дискретная случайная величина примет конкретное значение. Иногда она также известна как функция дискретной плотности вероятности. Вероятностная массовая функция часто является основным способом определения дискретного распределения вероятности, и такие функции существуют для скалярных или многомерных случайных величин, область определения которых дискретна. Вероятностная массовая функция отличается от функции плотности вероятности (PDF) тем, что последняя связана с непрерывными, а не дискретными случайными величинами. Для получения вероятности функцию плотности вероятности (PDF) необходимо интегрировать по интервалу. Значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность массы, называется модой.
Конечный
Есть три основных распределения: распределение Бернулли, биномиальное распределение и геометрическое распределение. Распределение Бернулли: ber(p), используется для моделирования эксперимента с двумя возможными исходами. Эти два исхода часто кодируются как 1 и 0. Примером распределения Бернулли является подбрасывание монеты. Пусть – пространство элементарных событий всех исходов однократного подбрасывания честной монеты, а – случайная величина, определенная на , принимающая значение 0 для исхода "решка" и 1 для исхода "орел". Поскольку монета честная, функция вероятности массы равна . Биномиальное распределение моделирует количество успехов при n независимых испытаниях с возвращением. Каждое испытание имеет два возможных исхода. Соответствующая функция вероятности массы – . Примером биномиального распределения является вероятность выпадения ровно одной шестерки при трех бросках честной игральной кости. Геометрическое распределение описывает количество испытаний, необходимых для получения первого успеха. Его функция вероятности массы – . Примером является подбрасывание монеты до первого выпадения "орла". обозначает вероятность выпадения "орла", а – количество необходимых подбрасываний монеты. Другие распределения, которые можно смоделировать с помощью функции вероятности массы, – это категориальное распределение (также известное как обобщенное распределение Бернулли) и мультиномиальное распределение. Если дискретное распределение имеет две или более категорий, одна из которых может встретиться, независимо от того, имеют ли эти категории естественный порядок, и проводится только одно испытание (одна выборка), то это категориальное распределение. Примером многомерного дискретного распределения и его функции вероятности массы является мультиномиальное распределение. Здесь множественные случайные величины – это количество успехов в каждой из категорий после заданного числа испытаний, а каждая ненулевая функция вероятности дает вероятность определенной комбинации количества успехов в различных категориях.
Binomial distribution, models the number of successes when someone draws n times with replacement. Each draw or experiment is independent, with two possible outcomes. The associated probability mass function is An example of the binomial distribution is the probability of getting exactly one 6 when someone rolls a fair die three times. Geometric distribution describes the number of trials needed to get one success. Its probability mass function is An example is tossing a coin until the first "heads" appears. denotes the probability of the outcome "heads", and denotes the number of necessary coin tosses. Other distributions that can be modeled using a probability mass function are the categorical distribution (also known as the generalized Bernoulli distribution) and the multinomial distribution. If the discrete distribution has two or more categories one of which may occur, whether or not these categories have a natural ordering, when there is only a single trial (draw) this is a categorical distribution. An example of a multivariate discrete distribution, and of its probability mass function, is provided by the multinomial distribution. Here the multiple random variables are the numbers of successes in each of the categories after a given number of trials, and each non zero probability mass gives the probability of a certain combination of numbers of successes in the various categories.
Бесконечность
Следующее экспоненциально убывающее распределение является примером распределения с бесконечным числом возможных исходов — всеми положительными целыми числами. Несмотря на бесконечное число возможных исходов, общая вероятность равна 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, что удовлетворяет требованию о сумме вероятностей, равной единице, для распределения вероятностей.
Многовариантный случай
Две или более дискретных случайных величин имеют совместную функцию распределения вероятностей, которая определяет вероятность каждой возможной комбинации их значений.