Кіріспе
Кездейсоқ шаманың орташасынан қашықтау ықтималдығына шектеу қоятын, қатарларға қатысты ұқсас теңсіздік. Ықтималдықтар теориясында Чебышев теңсіздігі (кейде Бинеайме-Чебышев теңсіздігі деп те аталады) шекті дисперсиясы бар кездейсоқ шамның орташасынан ауытқуының жоғарғы шегін береді. Нақтырақ айтқанда, кездейсоқ шамның орташа мәнінен артық ауытқу ықтималдығы, кез келген оң тұрақты және стандартты қате (дисперсияның квадрат түбірі) үшін кем дегенде , тең болады. Бұл ереже көбінесе статистикада орташа шаманың айналасындағы стандартты қателер диапазоны туралы Чебышев теоремасы деп аталады. Теңсіздіктің үлкен пайдасы бар, себебі ол орташа және дисперсиясы анықталған кез келген ықтималдық таралымына қолданылуы мүмкін. Мысалы, оны үлкен сандардың әлсіз заңын дәлелдеу үшін пайдалануға болады. Оның практикалық қолданылуы 68–95–99.7 ережесімен ұқсас, бірақ ол тек қана нормалды таралымдарға ғана қолданылады. Чебышев теңсіздігі көбірек жалпылама, ол кең ауқымдағы түрлі ықтималдық таралымдары үшін кем дегенде 75% мәндер орташа мәннен екі стандартты қате ішінде, ал 88.89% үш стандартты қате ішінде болуы керек дейді. Чебышев теңсіздігі термині Марков теңсіздігіне де қатысты болуы мүмкін, әсіресе анализ контекстінде. Олар тығыз байланысты, және кейбір авторлар Марков теңсіздігін «Чебышевтің бірінші теңсіздігі» деп, ал осы беттегі ұқсас теңсіздікті «Чебышевтің екінші теңсіздігі» деп атайды. Чебышев теңсіздігі әрбір таңдалған оң тұрақты үшін, теңсіздік шын мәнінде теңдік болатын кездейсоқ шаманың бар екенін көрсетеді.
the similarly named inequality involving series
In probability theory, Chebyshev's inequality (also called the Bienaymé–Chebyshev inequality) provides an upper bound on the probability of deviation of a random variable (with finite variance) from its mean. More specifically, the probability that a random variable deviates from its mean by more than is at most , where is any positive constant and is the standard deviation (the square root of the variance). The rule is often called Chebyshev's theorem, about the range of standard deviations around the mean, in statistics. The inequality has great utility because it can be applied to any probability distribution in which the mean and variance are defined. For example, it can be used to prove the weak law of large numbers. Its practical usage is similar to the 68–95–99.7 rule, which applies only to normal distributions. Chebyshev's inequality is more general, stating that a minimum of just 75% of values must lie within two standard deviations of the mean and 88.89% within three standard deviations for a broad range of different probability distributions. The term Chebyshev's inequality may also refer to Markov's inequality, especially in the context of analysis. They are closely related, and some authors refer to Markov's inequality as "Chebyshev's First Inequality," and the similar one referred to on this page as "Chebyshev's Second Inequality." Chebyshev's inequality is tight in the sense that for each chosen positive constant, there exists a random variable such that the inequality is in fact an equality.
Тарих
Теорема орыс математигі Пафнутий Чебышевтің есімімен аталады, бірақ оны алғаш рет оның досы және әріптесі Иренье Жюль Бинейме тұжырымдаған. Теореманы алғаш рет 1853 жылы Бинейме дәлелдеді, ал оны 1867 жылы Чебышев көбірек жағдайда дәлелдеді. Оның шәкірті Андрей Марков 1884 жылы докторлық диссертациясында осы теореманы тағы да дәлелдеді.
Айтылым
Чебышев теңсіздігі әдетте кездейсоқ шамалар үшін тұжырымдалады, бірақ ол өлшемдік кеңістіктерге қатысты да тұжырымдалуы мүмкін.
Ықтималдық мәлімдеме
X (интегралдағы) шекті нөлдік емес σ2 дисперсиясы бар кездейсоқ айнымалы болсын (сондай-ақ шекті μ күтілетін мәні бар). Онда k > 0 кез келген нақты сан үшін тек жағдай ғана пайдалы. Оң жақ бөлігі және теңсіздік тривиальды, өйткені барлық ықтималдықтар ≤ 1. Мысал ретінде, қолдану көрсетіп тұрғандай, ықтималдық мәндері интервалдан тыс жатқан жағдайлардың үлесі кем емес, бұл интервалдың ішінде жатқан мәндердің ықтималдығы (яғни оның "қамтуы") кем дегенде тең екенін білдіреді. Оның себебі – оны белгілі шекті орташа және дисперсиясы бар кез келген таралымға қолдануға болады, сондықтан теңсіздік, әдетте, таралым туралы қосымша мәліметтер белгілі болғанда алуға болатын шектен нашаррақ болады. k Орташаның k стандартты ауытқуы шегіндегі ең төменгі % Орташадан k стандартты ауытқудан жоғары ең жоғары % 1 0% 100% 50% 1.5 55.56% 44.44% 2 75% 25% 2 87.5% 12.5% 3 88.8889% 11.1111% 4 93.75% 6.25% 5 96% 4% 6 97.2222% 2.7778% 7 97.9592% 2.0408% 8 98.4375% 1.5625% 9 98.7654% 1.2346% 10 99% 1%
Only the case is useful. When the right hand side and the inequality is trivial as all probabilities are ≤ 1. As an example, using shows that the probability values lie outside the interval does not exceed Equivalently, it implies that the probability of values lying within the interval (i. e. its "coverage") is at least
Because it can be applied to completely arbitrary distributions provided they have a known finite mean and variance, the inequality generally gives a poor bound compared to what might be deduced if more aspects are known about the distribution involved. k Min. % within k standarddeviations of mean Max. % beyond k standarddeviations from mean 1 0% 100% 50% 50% 1.5 55.56% 44.44% 2 75% 25% 2 87.5% 12.5% 3 88.8889% 11.1111% 4 93.75% 6.25% 5 96% 4% 6 97.2222% 2.7778% 7 97.9592% 2.0408% 8 98.4375% 1.5625% 9 98.7654% 1.2346% 10 99% 1%
Мысал
Егер біз орта есеппен 1000 сөзден, ал стандартты ауытқуы 200 сөзден тұратын дереккөзден кездейсоқ түрде журнал мақаласын таңдасақ, онда оның 600 мен 1400 сөз аралығында болу ықтималдығы (яғни орташа шамадан стандартты ауытқудың шегінде) кем дегенде 75% болуы керек деп қорытындылай аламыз, себебі Чебышев теңсіздігіне сәйкес, одан тысқары шығу ықтималдығы одан артық емес. Бірақ егер бұл үлестірім қалыпты екенін білсек, онда сөз санының 770 мен 1230 аралығында болуының 75% ықтималдығы бар деуге болады (бұл одан да нақты шектеу).
Ұзартулар
Чебышев теңсіздігінің бірнеше түсіндірмелері жасалған.
Селберг теңсіздігі
Селберг кез келген аралықтар үшін жалпылама нұсқасын шығарды. X – математикалық күтілуі μ және дисперсиясы σ² болатын кездейсоқ шама деп есептейік. Селбергтің теңсіздігі, егер, болғанда, бұл Чебышев теңсіздігіне дейін тосып қалады. Бұл ең мүмкін шектеулер екені белгілі.
When , this reduces to Chebyshev's inequality. These are known to be the best possible bounds.
Шектелген айнымалылар
Егер P(x) функциясы [a, b] аралығында шекті қолдауға ие болса, онда |x| – x-тің абсолюттік шамасы. Егер P(x) функциясының орташа мәні нөлге тең болса, онда барлық k > 0 үшін осы теңсіздіктердің екіншісі – Чебышев шегі. Ал біріншісі P(x) мәнінің ең төменгі шегін анықтайды.
The second of these inequalities with is the Chebyshev bound. The first provides a lower bound for the value of P(x).
Көптүрлі жағдай
Stellato және т.б.
Височанский мен Петуниннің теңсіздігі
Височанский–Петунин теңсіздігі Гаусс теңсіздігін жалпылайды, ол тек бір модульді таралудың режимінен ауытқу үшін ғана емес, орта мәннен немесе жалпы алғанда, кез келген орталықтан ауытқу үшін де қолданылады. Егер X орташасы μ және дисперсиясы σ² болатын унимодальды үлестірім болса, онда теңсіздік мынадай:
For symmetrical unimodal distributions, the median and the mode are equal, so both the Vysochanskij–Petunin inequality and Gauss's inequality apply to the same center. Further, for symmetrical distributions, one sided bounds can be obtained by noticing that
The additional fraction of present in these tail bounds lead to better confidence intervals than Chebyshev's inequality. For example, for any symmetrical unimodal distribution, the Vysochanskij–Petunin inequality states that 4/(9 x 3^2) = 4/81 ≈ 4.9% of the distribution lies outside 3 standard deviations of the mode.
Симметриялық унимодальды үлестірулер үшін медиана мен режим тең болады, сондықтан Височанский–Петунин теңсіздігі де, Гаусс теңсіздігі де бір орталыққа қатысты қолданылады. Бұдан әрі, симметриялық үлестірулер үшін бір жақты шекараларды мынаны ескере отырып алуға болады: Осы құйрық шекараларындағы қосымша бөлшек Чебышев теңсіздігімен салыстырғанда жақсы сенімділік интервалдарына әкеледі. Мысалы, кез келген симметриялық унимодальды үлестірім үшін Височанский–Петунин теңсіздігінде 4/(9 x 3²) = 4/81 ≈ 4,9% үлестірімнің режимінен 3 стандартты ауытқудан тыс жататыны көрсетілген.
For symmetrical unimodal distributions, the median and the mode are equal, so both the Vysochanskij–Petunin inequality and Gauss's inequality apply to the same center. Further, for symmetrical distributions, one sided bounds can be obtained by noticing that
The additional fraction of present in these tail bounds lead to better confidence intervals than Chebyshev's inequality. For example, for any symmetrical unimodal distribution, the Vysochanskij–Petunin inequality states that 4/(9 x 3^2) = 4/81 ≈ 4.9% of the distribution lies outside 3 standard deviations of the mode.
Байланысты теңсіздіктер
Сонымен қатар, басқа да бірнеше байланысты теңсіздіктер белгілі.
Палей-Зигмунд теңсіздіктері
Палей-Зигмунд теңсіздігі құйрық ықтималдықтарына төменгі шек береді, ал Чебышев теңсіздігі жоғарғы шек береді. Оны кездейсоқ шаманың квадратына қолданғанда,
Холдайнның түрленуі
Чебышев теңсіздігін қолданудың бір жолы – белгісіз таралымы бар кездейсоқ шамалар үшін сенімділік интервалдарын құру. Холдейн, Кендалл еңбегінде алынған теңдеуді пайдаланып, егер кездейсоқ шаманың (x) орташасы нөлге тең, дисперсиясы бірлікке тең және шекті қисықтығы (γ) мен куртозы (κ) болса, онда оны қалыпты таралымды стандартты шамаға (z) түрлендіруге болады:
Бұл түрлендіру Чебышев теңсіздігіне балама ретінде немесе белгісіз таралымы бар кездейсоқ шамалар үшін сенімділік интервалдарын шығаруға оның бірге қолданылуы мүмкін. Бұл түрлендіру орташа қисықтығы және/немесе куртозы бар таралымдар үшін пайдалы болғанымен, таралым айқын қисықтығы және/немесе куртозы болғанда тиімсіз жұмыс істейді.