Введение

Ограничение вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания, а также одноимённое неравенство, связанное с рядами.

В теории вероятностей неравенство Чебышёва (также называемое неравенством Бине–Чебышёва) предоставляет верхнюю границу для вероятности отклонения случайной величины (с конечной дисперсией) от её математического ожидания. Более конкретно, вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на не превышает , где – любая положительная константа, а – стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии). Это правило часто называют теоремой Чебышёва, описывающей диапазон стандартных отклонений вокруг математического ожидания, в статистике. Неравенство обладает большой практической ценностью, поскольку его можно применять к любому распределению вероятностей, для которого определены математическое ожидание и дисперсия. Например, оно может быть использовано для доказательства слабого закона больших чисел. Его практическое применение аналогично правилу 68–95–99.7, которое применимо только к нормальным распределениям. Неравенство Чебышёва является более общим, утверждая, что как минимум 75% значений должны лежать в пределах двух стандартных отклонений от математического ожидания и 88,89% – в пределах трёх стандартных отклонений для широкого спектра различных распределений вероятностей. Термин «неравенство Чебышёва» также может относиться к неравенству Маркова, особенно в контексте математического анализа. Они тесно связаны, и некоторые авторы называют неравенство Маркова «Первым неравенством Чебышёва», а неравенство, рассматриваемое на данной странице, – «Вторым неравенством Чебышёва». Неравенство Чебышёва является точным в том смысле, что для каждой выбранной положительной константы существует случайная величина, для которой неравенство превращается в равенство.

История

Теорема названа в честь русского математика Пафнутия Чебышева, хотя впервые была сформулирована его другом и коллегой Ирене Жюлем Бинеме. Теорема была впервые доказана Бинеме в 1853 году, а Чебышевым – в более общем виде в 1867 году. Его ученик Андрей Марков представил другое доказательство в своей докторской диссертации 1884 года.

Заявление

Неравенство Чебышева обычно формулируется для случайных величин, но может быть обобщено до утверждения об измеримых пространствах.

Вероятностное утверждение

Пусть X (интегрируемая) – случайная величина с конечной ненулевой дисперсией σ2 (и, следовательно, конечным математическим ожиданием μ). Тогда для любого действительного числа k > 0, полезен только случай. Когда правая часть и неравенство становятся тривиальными, так как все вероятности ≤ 1. В качестве примера, используя , можно показать, что вероятность значений, лежащих за пределами интервала , не превышает . Эквивалентно, это означает, что вероятность значений, лежащих внутри интервала (т.е. его "покрытие") составляет не менее . Поскольку его можно применять к совершенно произвольным распределениям, при условии, что они имеют известное конечное среднее и дисперсию, это неравенство обычно дает слабую оценку по сравнению с тем, что можно было бы получить, если бы было известно больше информации о распределении. Мин. % в пределах k стандартных отклонений от среднего Макс. % за пределами k стандартных отклонений от среднего 1 0% 100% 50% 1.5 55.56% 44.44% 2 75% 25% 2 87.5% 12.5% 3 88.8889% 11.1111% 4 93.75% 6.25% 5 96% 4% 6 97.2222% 2.7778% 7 97.9592% 2.0408% 8 98.4375% 1.5625% 9 98.7654% 1.2346% 10 99% 1%

Пример

Предположим, мы случайным образом выбираем статью из источника, где в среднем на статью приходится 1000 слов, при стандартном отклонении в 200 слов. Тогда можно заключить, что вероятность того, что статья содержит от 600 до 1400 слов (то есть в пределах двух стандартных отклонений от среднего значения), должна быть не менее 75%, поскольку, согласно неравенству Чебышева, вероятность оказаться за пределами этого диапазона не превышает 25%. Но если дополнительно известно, что распределение является нормальным, то можно утверждать, что вероятность количества слов между 770 и 1230 (что является еще более точной границей) составляет около 75%.

Расширения

Разработано несколько обобщений неравенства Чебышева.

Неравенство Сельберга

Селберг получил обобщение на произвольные интервалы. Пусть X – случайная величина со средним значением μ и дисперсией σ². Неравенство Сельберга утверждает, что если , то ,

При этом, когда , это сводится к неравенству Чебышева. Известно, что это наилучшие возможные оценки.

Ограниченные переменные

Если P(x) имеет конечный носитель, основанный на интервале [a, b], то где |x| – абсолютная величина x. Если математическое ожидание P(x) равно нулю, то для всех k > 0

Второе из этих неравенств с является неравенством Чебышёва. Первое предоставляет нижнюю оценку для значения P(x).

Многовариантный случай

Стеллато и др.

Высочанский Петунин

Неравенство Высочанского–Петунина обобщает неравенство Гаусса, которое применимо только к отклонениям от моды унимодального распределения, распространяя его на отклонения от среднего значения или, в более общем случае, от любого центра. Если X – унимодальное распределение со средним μ и дисперсией σ², то неравенство утверждает, что

Для симметричных унимодальных распределений медиана и мода совпадают, поэтому как неравенство Высочанского–Петунина, так и неравенство Гаусса применимы к одному и тому же центру. Кроме того, для симметричных распределений можно получить односторонние оценки, заметив, что

Дополнительная доля, присутствующая в этих граничных значениях для хвостов распределения, позволяет получить более точные доверительные интервалы, чем неравенство Чебышева. Например, для любого симметричного унимодального распределения неравенство Высочанского–Петунина утверждает, что 4/(9 x 3²) = 4/81 ≈ 4,9% распределения лежит за пределами трех стандартных отклонений от моды.

Связанные неравенства

Известны также и другие связанные неравенства.

Неравенство Палей-Зигмунда

Неравенство Палея — Зигмунда дает нижнюю оценку для вероятностей в хвосте распределения, в отличие от неравенства Чебышева, которое дает верхнюю оценку. Применяя его к квадрату случайной величины, получаем

Трансформация Холдена

Одно из применений неравенства Чебышева – создание доверительных интервалов для случайных величин с неизвестным распределением. Холдейн отметил, используя уравнение, выведенное Кендаллом, что если случайная величина (x) имеет нулевое математическое ожидание, единичную дисперсию и конечные асимметрию (γ) и эксцесс (κ), то её можно преобразовать в стандартный нормальный скор (z):

Это преобразование может быть полезно как альтернатива неравенству Чебышева или как дополнение к нему при построении доверительных интервалов для случайных величин с неизвестными распределениями. Хотя это преобразование может быть полезно для умеренно асимметричных и/или эксцессивных распределений, оно показывает плохие результаты, когда распределение сильно асимметрично и/или эксцессивно.