Кіріспе

Статистикалық үлгідегі K-шы ең кіші мән. Статистикада, статистикалық үлгідегі K-шы реттік статистика, оның K-шы ең кіші мәнімен тең болады. Рангтық статистикамен бірге, реттік статистика – параметрлік емес статистика мен қорытындылар жасаудағы ең негізгі құралдардың бірі. Реттік статистиканың маңызды арнайы жағдайлары – үлгідегі ең кішкентай және ең үлкен мәндер, сондай-ақ (төменде талқыланатын кейбір ерекшеліктермен) үлгідегі медиана және басқа үлгілік квантильдер. Ұзындығы үздіксіз болатын таралымнан алынған кездейсоқ үлгілердің реттік статистикасын талдау үшін ықтималдықтар теориясын қолданғанда, жиынтық таралу функциясы талдауды біркелкі таралымның реттік статистикасына дейін тоғыстыру үшін пайдаланылады.

Ықтималдық талдау

Кез келген кездейсоқ айнымалыларды X1, X2, ..., Xn алғанда, реттік статистика X(1), X(2), ..., X(n) да кездейсоқ айнымалылар болып табылады, олар X1, X2, ..., Xn-нің мәндерін (көрсеткіштерін) өсу ретімен сұрыптау арқылы анықталады. Егер X1, X2, ..., Xn кездейсоқ айнымалылары үлгі құраса, олар тәуелсіз және бірдей таратылған болады. Осы жағдай төменде қарастырылады. Жалпы, X1, X2, ..., Xn кездейсоқ айнымалылары бірнеше популяциядан алынған үлгілер арқылы туындауы мүмкін. Мұндай жағдайда олар тәуелсіз, бірақ міндетті түрде бірдей таратылмаған, ал олардың бірлескен ықтималдық таралуы Бапат–Бег теоремасымен берілген. Енді біз қарастырып отырған кездейсоқ айнымалылар үздіксіз деп есептейміз және қажет болған жағдайда, олардың ықтималдық тығыздық функциясы (PDF) бар деп есептейміз, яғни олар абсолюттік үздіксіз. Нүктелерге масса қоятын таралымдарды (әсіресе дискретті таралымдарды) талдау ерекшеліктері соңында талқыланады.

Экспоненциалды үлестірілімнен алынған тапсырыс статистикасы

λ параметрі бар экспоненциалдық үлестірімнен алынған n көлеміндегі кездейсоқ үлгі үшін, i = 1, 2, 3, ..., n үшін X(i) реттік статистиканың әрқайсысы келесі үлестірімге ие:

мұнда Zj стандартты экспоненциалдық кездейсоқ шамалар (яғни, интенсивтілік параметрі 1-ге тең) тәуелсіз және бірдей үлестірімге ие. Бұл нәтиже алғаш рет Альфред Реньи жариялаған.

Erlang үлестіруінен алынған тапсырыс статистикасы

Реттік статистиканың Лаплас трансформациясы жол санау әдісі арқылы Ерланг үлестірімінен алынған үлгілерден табуға болады.

Қолдану: квантильдер үшін сенімділік интервалдары

Бір қызықты мәселе – негізгі үлестірімнің квантильдерін бағалаушы ретінде реттелген статистикалық көрсеткіштердің қаншалықты тиімді жұмыс істейтіні.

Үлгі өлшемі кіші үлгі

Қарауға болатын ең қарапайым жағдай – үлгідегі медиананың популяциялық медиананы қаншалықты жақсы бағалайтыны. Мысал ретінде, 6 өлшемді кездейсоқ үлгіні қарастырайық. Бұл жағдайда, үлгі медианасы әдетте 3-ші және 4-ші реттік статистикамен шектелген аралықтың орта нүктесі ретінде анықталады. Дегенмен, алдыңғы талқылаудан білеміз, осы аралықта популяциялық медиананың болу ықтималдығы:

Үлгі медианасы, әдетте, популяциялық медиананың ең жақсы таралымға тәуелсіз нүктелік бағасы болғанымен, бұл мысал абсолютті түрде оның аса жақсы еместігін көрсетеді. Осы нақты жағдайда, медианаға арналған жақсы сенімділік аралығы – 2-ші және 5-ші реттік статистикамен шектелген аралық, ол популяциялық медиананы белгілі бір ықтималдықпен қамтиды.

Осындай шағын үлгі мөлшерімен, егер кем дегенде 95% сенімділік қажет болса, медиана 6 бақылаудың ең кішкентай және ең үлкен мәндері аралығында 31/32 немесе шамамен 97% ықтималдықпен орналасқан деп айтуға болады. 6 саны, шындығында, ең кішкентай үлгі мөлшері болып табылады, онда ең кішкентай және ең үлкен мәндермен анықталған аралық популяциялық медиана үшін кем дегенде 95% сенімділік аралығын құрайды.

Тапсырыс статистикасын есептеу

Тізімнің k-шы ең кіші (немесе ең үлкен) элементін есептеу мәселесі таңдау мәселесі деп аталады және оны таңдау алгоритмімен шешеді. Бұл мәселе өте үлкен тізімдер үшін қиын болғанымен, күрделі таңдау алгоритмдері жасалды, олар тізімдегі элементтер санына пропорционалды уақытта осы мәселені шеше алады, тіпті тізім толығымен ретсіз болса да. Деректер белгілі бір арнайы дерек құрылымдарында сақталса, бұл уақыт O(log n) дейін қысқартылуы мүмкін. Көптеген қолданбаларда барлық реттілік статистикасы қажет, мұндай жағдайда сұрыптау алгоритмін қолдануға болады және оған кеткен уақыт O(n log n) болады.